問題
曲線を考える．
(1) と直線が異なる4点で交わるようなの値の範囲を求めよ．
(2) とが異なる4点で交わるとし，その交点を座標が小さいものから順にとするとき，
となるようなの値を求めよ．
(3) が(2)の値をとるとき，と線分で囲まれる図形の面積を求めよ．
方針
交点条件をに直し，とで2つの2次方程式に分ける。4交点をもつには，外側の2根が外側領域に，内側の2根が内側領域に入る必要があり，端点で重なる場合を除いてとなる。交点はすべて直線上にあるため，距離比は座標差の比でよい。，と置いて根の順序を明示し，(2)を解く。(3)はで上の曲線と直線の差を積分する。
解答
(1)
との交点では すなわち が成り立つ。
まずのとき，であるから であり， を得る。この2根は である。
次にのとき，であるから であり， を得る。この2根は である。
4つの異なる交点をもつには，外側の方程式の2根がそれぞれに入り，内側の方程式の2根がに入り，さらに内側の2根が実数でなければならない。境界で外側と内側が重なる値は であり，ここでは異なる4点にならない。内側の2根が実数であるためには すなわちが必要である。これらを合わせると である。
(2)
(1)の範囲で とおく。このとき4つの交点の座標は小さい順に である。実際，のときとなるので，この順序になる。
4点はいずれも直線上にある。したがって，2点間の距離は座標の差に共通の係数を掛けたものであり，距離比は座標差だけで計算できる。よって である。条件は すなわち である。したがって となり， より である。これは(1)の範囲に入っている。
(3)
のとき，であるからの座標は である。この区間ではなので，曲線は である。一方，直線は である。 では であり，曲線が線分より上にある。したがって求める面積は
である。
よって面積は である。