大阪大学 2016年度
文系数学 第1問

解答

(1)

$F(x)=x^2-kax+a-k$ とおく。$a>0$，$k\geqq 1$である。まず $F(1)=1-ka+a-k=(1+a)(1-k)\leqq 0$ である。また

である。 $F(x)$は連続関数であるから，$F(-1/a)>0$かつ$F(1)\leqq 0$より，方程式$F(x)=0$は $-\frac{1}{a}<s\leqq 1$ を満たす実数解$s$をもつ。なお，$F(1)=0$の場合は$s=1$を取ればよく，$F(1)<0$の場合は$-1/a$と1の間に根がある。

(2)

$n^2+a$が$an+1$で割り切れるとし，その商を$k$とおく。$a\geqq 3$，$n\geqq 2$より$an+1>0$，$n^2+a>0$なので，$k$は1以上の整数である。割り切れる条件は $n^2+a=k(an+1)$ すなわち $n^2-kan+a-k=0$ と書ける。したがって$n$は，(1)の2次方程式 $x^2-kax+a-k=0$ の整数解である。

(1)より，この2次方程式は $-\frac{1}{a}<s\leqq 1$ を満たす実数解$s$をもつ。もう一つの解が整数$n$で，係数も整数なので，解と係数の関係から $s=ka-n$ となり，$s$も整数である。$a\geqq 3$なので$-1/a>-1$であり，整数$s$は $s=0\text{または}s=1$ に限られる。 $s=0$のとき，解と係数の関係より $ns=a-k=0$ だから$k=a$である。また根の和から $n+s=ka$ なので $n=a^2$ を得る。 $s=1$のとき，解と係数の関係より $n=a-k,n+1=ka$ である。第2式から$k=(n+1)/a$であり，これを第1式に代入すると $n=a-\frac{n+1}{a}$ である。よって $an=a^2-n-1,(a+1)n=a^2-1=(a-1)(a+1)$ となり，$n=a-1$ を得る。

最後に確認する。$n=a^2$のとき $n^2+a=a^4+a=a(a^3+1)=a(an+1)$ であり，割り切れる。$n=a-1$のとき $n^2+a=(a-1{)}^2+a=a^2-a+1=an+1$ であり，これも割り切れる。どちらも$a\geqq 3$なら$n\geqq 2$である。

したがって求める整数は $\boxed{n=a-1,a^2}$ である。