大阪大学 2014年度文系数学第3問解答・解説

問題

関数 $f (x) = p x^{3} + q x^{2} + r x + s$ は， $x = 0$ のとき極大値 $M$ をとり， $x = α$ のとき極小値 $m$ をとるという．ただし $α \neq = 0$ とする．このとき， $p, q, r, s$ を $α, M, m$ で表せ．

出典：大阪大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

極大・極小をとる点が $0$ と $α$ であることから、導関数 $f^{'} (x)$ は $x = 0$ と $x = α$ を根にもつ。したがって $f^{'} (x) = 3 p x (x - α)$ とおき、係数比較で $q, r$ を $p$ で表す。次に $f (0) = M$ 、 $f (α) = m$ を代入して $s, p$ を決める。最後に $M > m$ から本当に $0$ が極大、 $α$ が極小になる符号条件も確認する。

解答

$f (x) = p x^{3} + q x^{2} + r x + s$ より $f^{'} (x) = 3 p x^{2} + 2 q x + r$ である。 $x = 0$ と $x = α$ で極値をとるので、 $f^{'} (0) = 0$ 、 $f^{'} (α) = 0$ である。 $α \neq = 0$ だから、 $f^{'} (x)$ は異なる2つの根 $0, α$ をもち、 $f^{'} (x) = 3 p x (x - α)$ と書ける。これを展開すると $f^{'} (x) = 3 p x^{2} - 3 p α x$ である。係数を比較して $r = 0, 2 q = - 3 p α$ すなわち $q = - \frac{3 p α}{2}$ を得る。

また、 $x = 0$ のときの値が $M$ であるから $f (0) = s = M$ である。さらに $x = α$ のときの値が $m$ であるから

m = f (α) = p α^{3} + q α^{2} + s = p α^{3} - \frac{3 p α}{2} α^{2} + M = M - \frac{p α ^{3}}{2}

である。したがって $\frac{p α ^{3}}{2} = M - m$ より $p = \frac{2 ( M - m )}{α ^{3}}$ である。これを $q = - \frac{3 p α}{2}$ に代入して $q = - \frac{3 ( M - m )}{α ^{2}}$ を得る。

以上より

p = \frac{2 ( M - m )}{α ^{3}}, q = - \frac{3 ( M - m )}{α ^{2}}, r = 0, s = M

である。

最後に極大・極小の向きを確認する。極大値 $M$ と極小値 $m$ について $M > m$ であるから、 $p α = \frac{2 ( M - m )}{α ^{2}} > 0$ である。よって $f^{'} (x) = 3 p x (x - α)$ の符号は、 $x = 0$ の前後で正から負へ、 $x = α$ の前後で負から正へ変わる。したがって $x = 0$ で極大、 $x = α$ で極小となり、条件と一致する。

大阪大学 2014年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

大阪大学 2014年度
文系数学第3問