問題
は虚数単位とし，実数，はを満たす定数とする．複素数の実部が2に等しいような座標平面上の点全体の集合をとし，またの虚部がに等しいような座標平面上の点全体の集合をとする．
(1) とはともに直線であることを示せ．
(2) とは互いに垂直であることを示せ．
(3) との交点を求めよ．
出典：大阪大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
まず を実部と虚部に分け、 を の一次方程式で表す。 から係数が同時に0にならないため、どちらも直線である。垂直性は各直線の方向ベクトルを取り、内積が0になることを示す。交点は2本の一次方程式を連立して解く。複素数で見れば、交点は を満たす点なので、割り算による別解も自然に得られる。
解答
(1)
である。したがって、実部が2に等しい条件は であり、虚部が に等しい条件は である。すなわち である。
ここで より、 は同時には0でない。したがって 、 であり、上の2つの式はいずれも の一次方程式として直線を表す。よって はともに直線である。
(2)
の方向ベクトルとして を取ることができる。実際、 だからである。また の方向ベクトルとして を取ることができる。
これらの内積は である。したがって2つの方向ベクトルは垂直であり、 と は互いに垂直である。
(3)
交点は
を満たす点である。第1式に を掛け、第2式に を掛けて加えると となる。 より である。
また、第2式に を掛け、第1式に を掛けたものを第2式側から引くと となる。したがって である。よって交点は である。
別解。交点では、実部が2、虚部が であるから が成り立つ。 なので である。分子を展開すると となる。したがって となり、同じ交点を得る。