大阪大学 2014年度文系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) $cos x + cos y \neq = 0$ を満たすすべての実数 $x, y$ に対して等式

tan \frac{x + y}{2} = \frac{sin x + sin y}{cos x + cos y}

が成り立つことを証明せよ．

(2) $cos x + cos y + cos z \neq = 0$ を満たすすべての実数 $x, y, z$ に対して等式

tan \frac{x + y + z}{3} = \frac{sin x + sin y + sin z}{cos x + cos y + cos z}

は成り立つか．成り立つときは証明し，成り立たないときは反例を挙げよ．

出典：大阪大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1) は和積公式で $sin x + sin y$ と $cos x + cos y$ をそれぞれ $(x + y) /2$ 、 $(x - y) /2$ の式に直す。分母が0でないという仮定から、共通因子だけでなく $cos ((x + y) /2)$ も0でないことが分かるので、正接として割り算できる。(2) は3つの角について同じ形の恒等式は一般には成立しないため、分母が0でない簡単な値を代入して反例を示す。

解答

(1)

和積公式より $sin x + sin y = 2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}$ であり、また $cos x + cos y = 2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}$ である。仮定より $cos x + cos y \neq = 0$ だから $2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2} \neq = 0$ である。したがって $cos \frac{x + y}{2} \neq = 0, cos \frac{x - y}{2} \neq = 0$ である。

よって分母を0でない量として割ることができ、

\frac{sin x + sin y}{cos x + cos y} = \frac{2 sin \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}}{2 cos \frac{x + y}{2} cos \frac{x - y}{2}} = \frac{sin \frac{x + y}{2}}{cos \frac{x + y}{2}} = tan \frac{x + y}{2}

となる。したがって示すべき等式は成り立つ。

(2)

一般には成り立たない。反例として $x = 0, y = 0, z = π$ を取る。このとき $cos x + cos y + cos z = 1 + 1 - 1 = 1 \neq = 0$ であり、問題の分母は0でない。

一方、左辺は $tan \frac{x + y + z}{3} = tan \frac{π}{3} = 3$ である。右辺は

\frac{sin x + sin y + sin z}{cos x + cos y + cos z} = \frac{0 + 0 + 0}{1} = 0

である。したがって左辺と右辺は一致しない。よって、(2) の等式はすべての実数 $x, y, z$ に対して成り立つわけではない。

大阪大学 2014年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2014年度
文系数学第2問