大阪大学 2013年度
文系数学 第3問

解答

曲線を $y=x^2+x+4-|3x|$ とする。$x\geqq 0$ では $|3x|=3x$ なので $y=x^2-2x+4$ である。直線 $y=mx+4$ との差は $(x^2-2x+4)-(mx+4)=x^2-(m+2)x=x(x-m-2)$ である。したがって右側 $x\geqq 0$ に囲まれる部分ができるのは $m+2\geqq 0$、すなわち $m\geqq -2$ のときであり、その面積は ${\int }_0^{m+2}\{mx+4-(x^2-2x+4)\}dx={\int }_0^{m+2}\{(m+2)x-x^2\}dx$

である。

一方、$x\leqq 0$ では $|3x|=-3x$ なので $y=x^2+4x+4$ である。直線との差は $(x^2+4x+4)-(mx+4)=x^2+(4-m)x=x(x+4-m)$ である。左側 $x\leqq 0$ に囲まれる部分ができるのは $m-4\leqq 0$、すなわち $m\leqq 4$ のときであり、その面積は ${\int }_{m-4}^0\{mx+4-(x^2+4x+4)\}dx={\int }_{m-4}^0\{(m-4)x-x^2\}dx$ $=\frac{(4-m{)}^3}{6}$ である。

したがって $-2\leqq m\leqq 4$ のとき、囲まれる部分の面積は $A(m)=\frac{(m+2{)}^3+(4-m{)}^3}{6}$ である。微分すると $A^{\prime }(m)=\frac{1}{2}\{(m+2{)}^2-(4-m{)}^2\}$ $=\frac{1}{2}\{(m+2)-(4-m)\}\{(m+2)+(4-m)\}=6(m-1)$ である。よって $A(m)$ は $m=1$ で最小となる。このとき面積は $A(1)=\frac{3^3+3^3}{6}=9$ である。

また、$m<-2$ のときは左側だけに囲まれる部分ができ、その面積は $\frac{(4-m{)}^3}{6}>\frac{6^3}{6}=36$ である。$m>4$ のときは右側だけに囲まれる部分ができ、その面積は $\frac{(m+2{)}^3}{6}>36$ である。これらは $m=1$ のときの面積9より大きい。

したがって面積が最小となるのは $\boxed{m=1}$ である。

別解。$-2\leqq m\leqq 4$ では右側の幅を $u=m+2$、左側の幅を $v=4-m$ とおくと $u\geqq 0,v\geqq 0,u+v=6$ であり、面積は $\frac{u^3+v^3}{6}$ である。$u+v=6$ のもとで $u^3+v^3=(u+v{)}^3-3uv(u+v)=216-18uv$ だから、面積を最小にするには $uv$ を最大にすればよい。和が一定の2数の積は等しいとき最大なので $u=v=3$ である。したがって $m+2=3$ より $m=1$ を得る。