大阪大学 2013年度
文系数学 第1問

解答

点 $P(x_0,y_0)$ と直線 $L:ax+by+c=0$ を考える。ただし $a,b$ は同時に0ではないので、$a^2+b^2>0$ である。

直線 $L$ の法線ベクトルは $(a,b)$ である。点 $P$ から $L$ に下ろした垂線の足を $H$ とすると、$PH$ は法線方向に平行であるから、ある実数 $\lambda$ を用いて $H=(x_0-\lambda a,y_0-\lambda b)$ と表せる。 $H$ は直線 $L$ 上にあるので $a(x_0-\lambda a)+b(y_0-\lambda b)+c=0$ である。これを整理すると $a{x}_0+b{y}_0+c-\lambda (a^2+b^2)=0$ だから $\lambda =\frac{a{x}_0+b{y}_0+c}{a^2+b^2}$ である。

したがって $PH=\sqrt{(\lambda a{)}^2+(\lambda b{)}^2}=|\lambda |\sqrt{a^2+b^2}$ であり、上の $\lambda$ を代入して $PH=\frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を得る。これが点 $P$ と直線 $L$ の距離である。

別解。直線 $L$ 上の任意の点を $Q(X,Y)$ とする。$aX+bY+c=0$ だから $a(X-x_0)+b(Y-y_0)=-(a{x}_0+b{y}_0+c)$ である。よって $|a{x}_0+b{y}_0+c|=|a(X-x_0)+b(Y-y_0)|$ であり、右辺は $\leqq \sqrt{a^2+b^2}\sqrt{(X-x_0{)}^2+(Y-y_0{)}^2}$ である。したがって、任意の $Q$ について $PQ\geqq \frac{|a{x}_0+b{y}_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ である。等号は $\overrightarrow{PQ}$ が $(a,b)$ に平行なとき、すなわち垂線の足を選んだときに成立する。よって同じ距離公式が得られる。