問題
1個のさいころを3回投げる試行において，1回目に出る目を，2回目に出る目を，3回目に出る目をとする．
(1) となる確率を求めよ．
(2) が3の倍数となる確率を求めよ．
出典：大阪大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1)は底が 、 と1未満なので、底を2に直してから不等号の向きを慎重に扱う。条件は に変わるため、 ごとに の通り数を数える。(2)は を3で割った余りが の偶奇だけで決まることを使う。3つの余りの和が0になるのは、指数がすべて偶数またはすべて奇数の場合に限られる。
解答
(1)
底を2に直すと であり、 である。したがって は と同値であり、両辺に を掛けると不等号が反転して となる。よって であり、 は増加関数なので を得る。 ごとに の通り数を数える。 はともに1から6までである。 のときは で0通りである。 のときは で の3通りである。 のときは 、すなわち である。和が となる通り数は である。 のときは であり、最大でも なので全36通りが条件を満たす。
したがって条件を満たす出方は 通りである。全事象は 通りだから、求める確率は である。
(2)
を3で割った余りは であるから
である。 のうち奇数であるものの個数を とする。偶数の指数からは余り1、奇数の指数からは余り2が出るので である。これが3の倍数となるのは のとき、すなわち がすべて偶数、またはすべて奇数のときである。
偶数の目は の3通り、奇数の目は の3通りである。したがって有利な出方は 通りであり、求める確率は である。