問題
5次式（は実数）について考える．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 数列が等差数列であることと，
（，は実数）と書けることは互いに同値であることを示せ．
(2) は(1)の条件をみたすものとする．を実数，を3以上の自然数とする．項からなる数列
が等差数列となるような，の組をすべて求めよ．
方針
(1) は を基準にする。 がすべて0であることから、 が等差数列になる条件は、 が一次式になることと対応する。(2) では (1) の形に直したあと、一次式部分はどの連続点でも等差数列を作るので、 の二階差分だけを調べる。連続する 項が等差数列になるために、 がすべて二階差分の零点 に入ることを用いて列挙する。
解答
(1)
とおく。
まず と書けるとする。このとき であるから、 に対して である。したがって は公差 の等差数列である。
逆に、 が等差数列であるとする。その初項を 、公差を とおけば である。すなわち多項式 は をすべて根にもつ。
また、 は最高次係数1の5次式であり、 は一次式であるから、 も最高次係数1の5次式である。したがって であり、 と書ける。
以上より、2つの条件は互いに同値である。
(2)
(1)より と書ける。一次式 の値は、 を1ずつ増やすと常に公差 の等差数列になる。したがって が等差数列となる条件は、 が等差数列となる条件と同じである。
連続する数列が等差数列であることは、隣り合う3項の二階差がすべて0であることと同値である。つまり を、必要なすべての でみたせばよい。
ここで実際に計算する。 だから、 より、二階差 は で0になる。また、 は最高次係数1の5次式なので、この二階差は最高次係数 の3次式である。したがって である。
よって 項 が等差数列になるためには、 がすべて のいずれかでなければならない。
のときは、調べる値は だけなので である。
のときは、 と がともに のいずれかでなければならないので である。
のときは、 がすべて に入る必要があるので である。
のときは、 が4個以上の連続する実数を含むため、それらが3個の数 の中にすべて入ることはできない。したがって不可能である。
以上より、求める組は である。