大阪大学 2012年度理系数学第1問解答・解説

問題

$a > 0$ とする． $C_{1}$ を曲線 $x^{2} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ ， $C_{2}$ を直線 $y = 2 a x - 3 a$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 点 $P$ が $C_{1}$ 上を動き，点 $Q$ が $C_{2}$ 上を動くとき，線分 $P Q$ の長さの最小値を $f (a)$ とする． $f (a)$ を $a$ を用いて表せ．

(2) 極限値 $a \to \infty lim f (a)$ を求めよ．

出典：大阪大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

楕円上の点を $(cos θ, a sin θ)$ と表し、その点から直線 $C_{2}$ までの距離を最小化する。距離の分子は $a (sin θ - 2 cos θ + 3)$ となり、 $sin θ - 2 cos θ$ の範囲を調べればよい。絶対値を外す前に $3 - 5 > 0$ を確認する。別解として、単位円上の点に対する一次式の最小値を直接評価しても同じ最短距離が得られる。

解答

(1)

$C_{1}$ は $x^{2} + \frac{y ^{2}}{a ^{2}} = 1$ であり、 $a > 0$ だから、 $C_{1}$ 上の点 $P$ は $P = (cos θ, a sin θ)$ と表せる。

直線 $C_{2}$ は $y = 2 a x - 3 a$ すなわち $y - 2 a x + 3 a = 0$ である。点 $P$ からこの直線までの距離は

\frac{∣ a sin θ - 2 a cos θ + 3 a ∣}{1 + 4 a ^{2}} = \frac{a ∣ sin θ - 2 cos θ + 3∣}{1 + 4 a ^{2}}

である。

ここで $sin θ - 2 cos θ$ の最小値は $- 1^{2} + (- 2)^{2} = - 5$ であり、最大値は $5$ である。さらに $3 - 5 > 0$ だから、 $sin θ - 2 cos θ + 3$ は常に正である。よって距離を最小にするには、 $sin θ - 2 cos θ$ を最小にすればよく、その最小値は $3 - 5$ である。

したがって $f (a) = \frac{a ( 3 - 5 )}{1 + 4 a ^{2}}$ である。

(2)

(1)で得た式を用いると

f (a) = \frac{a ( 3 - 5 )}{1 + 4 a ^{2}} = \frac{3 - 5}{4 + \frac{1}{a ^{2}}}

である。 $a \to \infty$ のとき $1/ a^{2} \to 0$ だから $lim_{a \to \infty} f (a) = \frac{3 - 5}{2}$ である。

別解。楕円上の点を $(x, y) = (u, a v), u^{2} + v^{2} = 1$ と表す。直線 $C_{2}$ までの距離の分子は $y - 2 a x + 3 a = a (v - 2 u + 3)$ である。 $u^{2} + v^{2} = 1$ のもとで、一次式 $v - 2 u$ の最小値は $- 1^{2} + (- 2)^{2} = - 5$ である。これは、例えば $(u, v) = (2/ 5, - 1/ 5)$ のときに達成される。

したがって $y - 2 a x + 3 a ≧ a (3 - 5) > 0$ であり、最短距離は $\frac{a ( 3 - 5 )}{1 + 4 a ^{2}}$ である。この後の極限計算は上と同じで $lim_{a \to \infty} f (a) = \frac{3 - 5}{2}$ となる。

大阪大学 2012年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2012年度
理系数学第1問