大阪大学 2012年度理系数学第3問解答・解説

問題

$x y z$ 空間に3点 $O (0, 0, 0)$ ， $A (1, 0, 1)$ ， $B (0, 3, 1)$ がある．平面 $z = 0$ に含まれ，中心が $O$ ，半径が1の円を $W$ とする．点 $P$ が線分 $O A$ 上を，点 $Q$ が円 $W$ の周および内部を動くとき， $O R = O P + O Q$ をみたす点 $R$ 全体がつくる立体を $V_{A}$ とおく．同様に点 $P$ が線分 $O B$ 上を，点 $Q$ が円 $W$ の周および内部を動くとき， $O R = O P + O Q$ をみたす点 $R$ 全体がつくる立体を $V_{B}$ とおく．さらに $V_{A}$ と $V_{B}$ の重なり合う部分を $V$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) 平面 $z = cos θ$ $(0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2})$ による立体 $V$ の切り口の面積を $θ$ を用いて表せ．

(2) 立体 $V$ の体積を求めよ．

出典：大阪大学 2012年度前期日程第2次学力試験理系第3問

方針

高さ $z$ で切った断面を調べる。 $V_{A}$ の断面は中心 $(z, 0)$ 、半径1の円板、 $V_{B}$ の断面は中心 $(0, 3 z)$ 、半径1の円板になる。 $z = cos θ$ とおくと2中心間距離は $2 cos θ$ なので、切り口は2つの単位円の共通部分である。共通部分の面積を「扇形2つから二等辺三角形2つを引く」として $2 θ - sin 2 θ$ と求め、最後に $z = cos θ$ による置換で体積積分を計算する。

解答

(1)

まず $V_{A}$ を高さ $z$ の平面で切る。点 $P$ が線分 $O A$ 上にあるから、 $0 ≦ z ≦ 1$ に対して $O P = (z, 0, z)$ と表せる。また、 $Q$ は平面 $z = 0$ 上の中心 $O$ 、半径1の円板内を動くので、 $O Q = (u, v, 0), u^{2} + v^{2} ≦ 1$ と書ける。したがって $R = (z + u, v, z)$ となり、高さ $z$ における $V_{A}$ の断面は $(x - z)^{2} + y^{2} ≦ 1$ で表される。これは中心 $(z, 0)$ 、半径1の円板である。

同様に、 $V_{B}$ については、線分 $O B$ 上の点 $P$ が $O P = (0, 3 z, z)$ と表されるので、高さ $z$ の断面は $x^{2} + (y - 3 z)^{2} ≦ 1$ である。これは中心 $(0, 3 z)$ 、半径1の円板である。

いま問題では $z = cos θ, 0 ≦ θ ≦ \frac{π}{2}$ とおく。このとき2つの円板の中心間距離は $(cos θ)^{2} + (3 cos θ)^{2} = 2 cos θ$ である。

したがって切り口は、中心間距離が $2 cos θ$ である2つの単位円の共通部分である。2つの円の交点とそれぞれの中心を結ぶと、各円で中心角 $2 θ$ の扇形から、面積 $\frac{1}{2} sin 2 θ$ の二等辺三角形を引いた部分ができる。それが2つあるから、切り口の面積は $2 (θ - \frac{1}{2} sin 2 θ) = 2 θ - sin 2 θ$ である。

(2)

体積は、(1)で求めた断面積を $z$ について $0$ から $1$ まで積分すればよい。 $z = cos θ$ とおくと $d z = - sin θ d θ$ であり、 $z = 0$ のとき $θ = π /2$ 、 $z = 1$ のとき $θ = 0$ である。したがって

V = \int_{0}^{1} {高さ z の断面積} d z = \int_{0}^{π /2} (2 θ - sin 2 θ) sin θ d θ

である。

まず、部分積分により

\int_{0}^{π /2} 2 θ sin θ d θ = [- 2 θ cos θ]_{0}^{π /2} + \int_{0}^{π /2} 2 cos θ d θ = 2

である。また、

\int_{0}^{π /2} sin 2 θ sin θ d θ = \int_{0}^{π /2} 2 sin^{2} θ cos θ d θ

であり、 $w = sin θ$ とおくと

\int_{0}^{π /2} 2 sin^{2} θ cos θ d θ = \int_{0}^{1} 2 w^{2} d w = \frac{2}{3}

である。

よって $V = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$ である。

大阪大学 2012年度理系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2012年度
理系数学第3問