大阪大学 2011年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

座標平面上に原点 $O$ を中心とする半径1の円 $C$ がある。点 $A (- 2, 0)$ を通る直線が $y > 0$ の範囲にある点 $P$ において円 $C$ と接するとする。自然数 $n ≧ 2$ に対して点 $A$ を通る $(n - 1)$ 本の直線で $∠ O A P$ を $n$ 等分する。これらの直線を直線 $A O$ となす角が小さいものから順に $l_{1}, \dots, l_{n - 1}$ とし、直線 $l_{k}$ と円 $C$ の2つの交点のうち点 $A$ に近い方を $Q_{k}$ 、他方を $R_{k}$ とする。

(1) $A R_{k}^{2} - A Q_{k}^{2}$ を $n$ と $k$ を用いて表せ。

(2) $n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 (A R_{k}^{2} - A Q_{k}^{2})$ を求めよ。

出典：大阪大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

直角三角形 $A O P$ から $∠ O A P = π /6$ を求め、 $l_{k}$ の方向角を $θ_{k} = k π / (6 n)$ とする。点 $A$ から $l_{k}$ 上を距離 $r$ だけ進んだ点を座標表示し、円との交点条件を $r$ の二次方程式にする。2根が $A Q_{k}, A R_{k}$ なので、和と差から平方差を求める。(2)は $θ_{k}$ に関する区分求積和へ直し、 $u = 2 sin θ$ で積分する。

解答

(1)

$A P$ は円の接線なので $O P ⊥ A P$ である。 $A O = 2$ 、 $O P = 1$ より、直角三角形 $A O P$ で

sin ∠ O A P = \frac{1}{2}

であるから $∠ O A P = π /6$ である。したがって $l_{k}$ が $A O$ となす角を $θ_{k}$ とすると

θ_{k} = \frac{k π}{6 n} .

点 $A$ から $l_{k}$ に沿って距離 $r$ だけ進んだ点の座標は

(- 2 + r cos θ_{k}, r sin θ_{k})

である。これが円 $x^{2} + y^{2} = 1$ 上にある条件は

r^{2} - 4 r cos θ_{k} + 3 = 0

である。その2根は $A Q_{k}, A R_{k}$ であり

A Q_{k} + A R_{k} = 4 cos θ_{k}, A R_{k} - A Q_{k} = 2 4 cos^{2} θ_{k} - 3 .

よって

A R_{k}^{2} - A Q_{k}^{2} = (A R_{k} - A Q_{k}) (A R_{k} + A Q_{k}) = 8 cos θ_{k} 4 cos^{2} θ_{k} - 3 = 8 cos \frac{k π}{6 n} 1 - 4 sin^{2} \frac{k π}{6 n} .

(2)

$h (θ) = 8 cos θ 1 - 4 sin^{2} θ$ とおく。(1)より求める極限は

n \to \infty lim \frac{1}{n} k = 1 \sum n - 1 h (\frac{k π}{6 n}) = \frac{6}{π} \int_{0}^{π /6} h (θ) d θ .

ここで $u = 2 sin θ$ とおくと $d u = 2 cos θ d θ$ であり、積分区間は $0 ≦ u ≦ 1$ となる。したがって

\int_{0}^{π /6} h (θ) d θ = 4 \int_{0}^{1} 1 - u^{2} d u = 4 \cdot \frac{π}{4} = π .

最後の積分は半径1の円の第1象限部分の面積である。よって求める極限は

\frac{6}{π} \cdot π = 6

である。

大阪大学 2011年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2011年度
後期・理系数学後期第4問