大阪大学 2011年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$x, y$ は $- π /2 < x < π /2$ 、 $- π /2 < y < π /2$ の範囲にある0でない実数で、

sin^{3} x + sin^{3} y = \frac{3 15}{32}, \frac{sin y}{sin x} + \frac{sin x}{sin y} = 3

を満たすとする。このとき、 $x + y$ の値を求めよ。

出典：大阪大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

$u = sin x$ 、 $v = sin y$ と置き、比の式を $u^{2} + v^{2} = 3 uv$ に直す。和 $u + v$ と積 $uv$ を三乗和から求める。 $x, y$ はともに $(- π /2, π /2)$ にあるため余弦は正であり、 $cos x cos y$ を正の平方根として計算できる。最後に $cos (x + y)$ と $x + y$ の範囲から角を一意に決める。

解答

$u = sin x$ 、 $v = sin y$ とおく。 $u, v \neq = 0$ であり、2つ目の等式から

u^{2} + v^{2} = 3 uv

を得る。したがって $uv > 0$ である。 $s = u + v$ とおけば

s^{2} = u^{2} + 2 uv + v^{2} = 5 uv

である。また

u^{3} + v^{3} = (u + v)^{3} - 3 uv (u + v) = s (s^{2} - 3 uv) = \frac{2}{5} s^{3} .

問題の条件より

\frac{2}{5} s^{3} = \frac{3 15}{32}

であるから

s^{3} = \frac{15 15}{64} = (\frac{15}{4})^{3} .

よって

u + v = \frac{15}{4}, uv = \frac{s ^{2}}{5} = \frac{3}{16} .

特に $uv > 0$ かつ $u + v > 0$ なので $u, v > 0$ であり、 $0 < x, y < π /2$ である。

また

(1 - u^{2}) (1 - v^{2}) = 1 - (u^{2} + v^{2}) + u^{2} v^{2} = 1 - 3 uv + (uv)^{2} = 1 - \frac{9}{16} + \frac{9}{256} = \frac{121}{256} .

$cos x, cos y > 0$ だから

cos x cos y = \frac{11}{16} .

したがって

cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y = \frac{11}{16} - \frac{3}{16} = \frac{1}{2} .

ここで $0 < x + y < π$ であるから

x + y = \frac{π}{3}

である。

大阪大学 2011年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

大阪大学 2011年度
後期・理系数学後期第3問