大阪大学 2011年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

座標平面上に原点 $O$ を中心とする半径5の円 $C$ がある。 $n = 2$ または $n = 3$ とし、半径 $n$ の円 $C_{n}$ が円 $C$ に内接して滑ることなく回転していくとする。円 $C_{n}$ 上に点 $P_{n}$ がある。最初、円 $C_{n}$ の中心 $O_{n}$ が $(5 - n, 0)$ に、点 $P_{n}$ が $(5, 0)$ にあったとして、円 $C_{n}$ の中心が円 $C$ の内部を反時計回りに $n$ 周して、もとの位置に戻るものとする。円 $C$ と円 $C_{n}$ の接点を $S_{n}$ とし、線分 $O S_{n}$ が $x$ 軸の正の方向となす角を $t$ とする。

(1) 点 $P_{n}$ の座標を $t$ と $n$ を用いて表せ。

(2) 点 $P_{2}$ の描く曲線と点 $P_{3}$ の描く曲線は同じであることを示せ。

出典：大阪大学 2011年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

中心 $O_{n}$ は半径 $5 - n$ の円上を動く。滑らない条件から、中心が角 $t$ だけ公転したとき、小円は中心のまわりに時計回りへ $(5 - n) t / n$ だけ回転する。中心の位置ベクトルと $O_{n} P_{n}$ を足して座標を得る。(2)では $n = 2$ は $t = 2 u$ 、 $n = 3$ は $t = - 3 u$ と置き、どちらも $0 ≦ u ≦ 2 π$ を一巡すると同じ座標集合になることを示す。

解答

(1)

円 $C_{n}$ の中心は

O_{n} = ((5 - n) cos t, (5 - n) sin t)

である。中心が角 $t$ だけ動く間に接点が円 $C$ 上を進む弧の長さは $(5 - n) t$ である。滑らないので、円 $C_{n}$ は中心のまわりに時計回りへ

\frac{( 5 - n ) t}{n}

だけ回転する。初めに $O_{n} P_{n} = (n, 0)$ であったから

O_{n} P_{n} = (n cos \frac{( 5 - n ) t}{n}, - n sin \frac{( 5 - n ) t}{n}) .

したがって

P_{n} = ((5 - n) cos t + n cos \frac{( 5 - n ) t}{n}, (5 - n) sin t - n sin \frac{( 5 - n ) t}{n}) .

(2)

$n = 2$ のとき、中心は2周するので $0 ≦ t ≦ 4 π$ である。 $t = 2 u$ とおけば $0 ≦ u ≦ 2 π$ であり、(1)から

P_{2} = (3 cos 2 u + 2 cos 3 u, 3 sin 2 u - 2 sin 3 u) .

一方、 $n = 3$ のときは中心が3周するので、 $t$ は長さ $6 π$ の範囲を動く。(1)で $t = - 3 u$ と置くと

P_{3} = (2 cos 3 u + 3 cos 2 u, - 2 sin 3 u + 3 sin 2 u) .

これは $P_{2}$ の座標と一致する。 $u$ が長さ $2 π$ の区間を動くとき $- 3 u$ は中心の3周分を逆向きに一巡し、描かれる点の集合は向きによらない。よって $P_{2}$ と $P_{3}$ の描く曲線は同じである。

大阪大学 2011年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2011年度
後期・理系数学後期第1問