問題
連立方程式を考える．
(1) この連立方程式を満たす自然数，の組を求めよ．
(2) この連立方程式を満たす正の実数，は，(1)で求めた自然数の組以外に存在しないことを示せ．
出典：大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第2問
方針
(1) はまず から自然数 の候補を に絞り， が2の累乗になる場合を調べる。(2) は第2式から が の増加関数として表されること，第1式から が の減少関数として表されることを示し，正の実数解が高々1つであることを使う。最後に(1)の解が実数解でもあることを確認する。
解答
(1) 自然数 について である。 だから に限られる。
それぞれ調べる。 のとき であり，これは2の累乗ではない。 のとき であり，これも2の累乗ではない。 のとき だから である。
この組について第2式を確認すると である。したがって自然数解は である。
(2) 正の実数解を考える。第2式 は と同値である。したがって であり，右辺は において の増加関数である。つまり第2式を満たす点では， が大きいほど も大きくなる。
一方，第1式からは である。右辺が正であるために が必要であり，この範囲で と表される。 は の増加関数なので， は減少関数であり，さらに も増加関数だから，この は の減少関数である。
したがって，正の実数解が2つ以上あることはない。実際，もし となる2つの解があれば，第2式からは となるが，第1式からは となり矛盾する。
(1) で求めた は正の実数解でもある。よって，これ以外の正の実数解は存在しない。