問題
曲線を考える．
(1) が実数全体を動くとき，曲線上の点を頂点とする放物線が通過する領域を平面上に図示せよ．
(2) を(1)で求めた領域の境界とする．が軸の正の部分と交わる点をとし，でのの接線をとする．とで囲まれた部分の面積を求めよ．
出典：大阪大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1) は，固定した に対して放物線族の式を の2次式として見る。係数が負なので，その最大値が各 で到達できる上限になり，通過領域はその上限以下の部分になる。(2) は境界 を明確にし，正の 軸との交点を求める。曲線 の接線と の交点を出したら，上下関係を確認して2つの曲線の差を積分する。
解答
(1) 与えられた放物線は である。これを について整理すると である。
ここで を固定して考える。右辺は の2次式で， の係数が なので，下向きに開き，最大値をもつ。平方完成すると である。したがって，固定した に対して取り得る の最大値は であり，これは のとき実際に達成される。
また， を大きく動かすと の項により はいくらでも小さくなる。よって，放物線族が通過する領域は である。境界は放物線 である。
(2) 境界 と 軸の正の部分との交点を とする。 は なので より である。
曲線 の導関数は であるから， における接線 は である。整理して である。
次に と の交点を求める。 より である。これを解くと だから である。
この区間では であり，交点の間で正である。したがって求める面積 は である。計算すると であり，
となる。 より である。