問題
次のような，いびつなさいころを考える．1，2，3の目が出る確率はそれぞれ，4の目が出る確率は，5，6の目が出る確率はである．ただし，とする．
このさいころを振ったとき，平面上のにある点は，1，2，3のいずれかの目が出るとに，4の目が出るとに，5，6のいずれかの目が出るとに移動する．
原点にあった点が，回さいころを振ったときにある確率をとする．
(1) ，，を求めよ．
(2) を求めよ．
(3) が最大になるときのの値を求めよ．
方針
移動を3種類にまとめ，それぞれの確率を先に整理する。1,2,3の目はすべてへの移動なので合計確率は，4はで確率，5,6はで合計確率である。目標座標に到達するには各移動の回数が座標条件を満たす必要があるので，回数の組を決めてから並べ方を数える。最後はをの三次式として最大化する。
解答
(1)
1，2，3の目が出たときの移動をA，4の目が出たときの移動をB，5，6の目が出たときの移動をCとする。それぞれの移動は
である。また，それぞれの確率は
である。
1回だけでは原点からへは移動できないので である。2回の場合も，Aを2回出すと，AとBを1回ずつ出すとであり，Cを含むと座標または座標がさらに小さくなるためにはならない。したがって である。
3回でに到達するには，Aを2回，Bを1回，Cを0回出す必要がある。この並べ方は 通りであるから である。よって である。
(2)
6回のうち，Aが回，Bが回，Cが回出たとする。このとき最終的な座標は である。これがに等しいので であり，さらに回数の合計から である。前の2式からなので，合計式に代入して となる。よって であり， である。
したがって，6回で到達する確率は
である。ここで なので
である。
(3)
であり，定数は最大値を与えるに影響しない。したがって をで最大にすればよい。
微分すると である。したがって増減の候補は であり，端点も調べる。値は
である。よって最大となるのは のときである。