大阪大学 2009年度
文系数学 第2問

解答

(1)

$|\vec{a}|=A,|\vec{b}|=B$とおく。三角形$OAB$を考えているので$A>0,B>0$である。点Cは辺OAを$1:2$に内分するから $\overrightarrow{OC}=\frac{1}{3}\vec{a}$ である。また定義より $\overrightarrow{OD}=t\vec{b},t=\frac{A}{2B}$ である。

条件$\overrightarrow{AD}\perp \overrightarrow{OB}$を内積で表すと $(t\vec{b}-\vec{a})\cdot \vec{b}=0$ である。したがって $t|\vec{b}{|}^2=\vec{a}\cdot \vec{b}$ であり，$t=A/(2B)$を代入して $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{A}{2B}\cdot B^2=\frac{AB}{2}$ を得る。よって

である。三角形の内角なので $\boxed{\angle AOB=60^{\circ }}$ である。

(2)

条件$\overrightarrow{BC}\perp \overrightarrow{OA}$より $\left(\frac{1}{3}\vec{a}-\vec{b}\right)\cdot \vec{a}=0$ である。したがって $\frac{1}{3}{A}^2-\vec{a}\cdot \vec{b}=0$ すなわち $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{A^2}{3}$ である。一方，(1)で $\vec{a}\cdot \vec{b}=\frac{AB}{2}$ を得ているので $\frac{A^2}{3}=\frac{AB}{2}$ となる。$A>0,B>0$より $2A=3B,\frac{A}{B}=\frac{3}{2}$ である。したがって $t=\frac{A}{2B}=\frac{1}{2}\cdot \frac{A}{B}=\boxed{\frac{3}{4}}$ である。

(3)

PがAD上にあることから，実数$u$を用いて

と書ける。またPがBC上にあることから，実数$v$を用いて

と書ける。 $\vec{a},\vec{b}$は三角形をつくる2辺の方向ベクトルなので平行ではない。したがって係数を比較できる。$t=3/4$を用いると $1-u=\frac{v}{3},\frac{3}{4}u=1-v$ である。第1式から$v=3(1-u)$であり，これを第2式に代入すると $\frac{3}{4}u=1-3(1-u)=3u-2$ となる。よって $\frac{9}{4}u=2,u=\frac{8}{9}$ である。したがって

である。よって $\boxed{\overrightarrow{OP}=\frac{1}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}}$ である。

別解。(1)(2)で得た$\angle AOB=60^{\circ }$，$|\vec{a}|:|\vec{b}|=3:2$を使って座標を置く。たとえば $\vec{b}=(2,0),\vec{a}=\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)$ としてよい。このとき

である。直線ADは$x=3/2$であり，直線BC上の点は $(2,0)+s\left(-\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ と表せる。これが$x=3/2$を満たすには$s=1/3$であるから $P=\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{6}\right)$ である。これを$\lambda \vec{a}+\mu \vec{b}$とおくと，$y$座標から

であり，$x$座標から $\frac{1}{9}\cdot \frac{3}{2}+2\mu =\frac{3}{2},\mu =\frac{2}{3}$ となる。よって同じく $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{9}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$ を得る。