問題
曲線（は実数）を考える．上に点 をとる．次の問いに答えよ．
(1) 点におけるの接線をとする．との以外の交点をとする．の座標を求めよ．
(2) 点におけるの接線をとする．とが直交するとき，とがみたす条件を求めよ．
(3) とが直交するが存在するようなの値の範囲を求めよ．
方針
(1) まず導関数から点Aにおける接線の式を作り，曲線との交点方程式に戻す。接点では重解になるはずなので，因数分解で残りの根を取り出す。(2) Bのx座標が分かれば，2本の接線の傾きはそれぞれ微分係数で表せる。直交条件は傾きの積がであることに直す。(3) 最後はとおき，の二次方程式が解をもつ条件を調べる。の符号と判別式，または二次式の最小値を使って範囲を決める。
解答
(1)
曲線の導関数は である。したがって，点における接線の傾きはであり，接線の方程式は である。これを整理すると となる。
この直線と曲線の交点の座標は を満たす。両辺を移項すると である。ここでは接点Aに対応する重解になるので，実際に因数分解すると である。よってA以外の交点Bの座標は である。なおよりであり，確かにAとは異なる点である。
(2)
の傾きは である。また(1)よりBの座標はなので，点Bにおける接線の傾きは である。
2直線が直交するための条件は，それぞれの傾きの積がであることだから である。したがって求める条件は である。
(3)
とおく。条件より である。(2)の条件は すなわち となる。この二次方程式がの解をもつようなを求めればよい。
まずのとき，に対して であるから となり，解は存在しない。
次にとする。このとき二次方程式が実数解をもつ条件は判別式が0以上であること，すなわち
である。よって であり，だから を得る。
さらにこのとき，解は である。ではなので，実数解が存在すればどちらの解も正である。したがってという条件も満たされる。
以上より，求めるの範囲は である。
別解。 の場合だけを考えればよい。二次式 は上に凸でなく下に凸で，における最小値を調べればよい。頂点は であり，そこでの値は
である。よってに解をもつ条件は であり，と合わせてやはり となる。