大阪大学 2007年度理系数学第4問解答・解説

問題

$f (x) = x^{3} - x$ とし， $t$ を実数とする． $x y$ 平面において，曲線 $y = f (x)$ を $C_{1}$ とし，直線 $x = t$ に関して $C_{1}$ と対称な曲線 $y = f (2 t - x)$ を $C_{2}$ とする．

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ が3点で交わるとき， $t$ のとりうる値の範囲を求めよ．

(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき， $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた部分の面積 $S$ の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第4問

方針

対称軸 $x = t$ を中心に見るため， $x = t + u$ と置く。すると反対側の点は $2 t - x = t - u$ であり，2曲線の差 $f (t + u) - f (t - u)$ が $u$ の奇関数として整理できる。交点は $u = 0$ と $u^{2} = 1 - 3 t^{2}$ で決まるので，3点で交わる条件は $1 - 3 t^{2} > 0$ 。面積は左右対称な2つの領域の和であり， $0 < u < h$ での上下関係を確認してから $2 \int_{0}^{h}$ で計算する。

解答

(1)

$x = t + u$ とおく。このとき $2 t - x = t - u$ である。したがって2曲線の $y$ 座標の差は

f (t + u) - f (t - u) = ((t + u)^{3} - (t + u)) - ((t - u)^{3} - (t - u)) = 6 t^{2} u + 2 u^{3} - 2 u = 2 u (3 t^{2} + u^{2} - 1)

である。

交点はこの差が0になる点なので $2 u (3 t^{2} + u^{2} - 1) = 0$ を満たす。したがって $u = 0$ または $u^{2} = 1 - 3 t^{2}$ である。3つの異なる交点をもつためには $1 - 3 t^{2} > 0$ でなければならない。よって $- \frac{1}{3} < t < \frac{1}{3}$ である。

(2)

(1)の範囲で $h = 1 - 3 t^{2}$ とおく。交点に対応する $u$ は $- h, 0, h$ である。 $0 < u < h$ では $3 t^{2} + u^{2} - 1 = u^{2} - h^{2} < 0$ だから $f (t + u) - f (t - u) = 2 u (u^{2} - h^{2}) < 0$ である。したがってこの区間では $C_{2}$ が $C_{1}$ より上にある。

対称性により，囲まれた2つの部分の面積は等しい。よって面積の和 $S$ は

S = 2 \int_{0}^{h} {f (t - u) - f (t + u)} d u = 2 \int_{0}^{h} 2 u (h^{2} - u^{2}) d u = 4 [\frac{h ^{2} u ^{2}}{2} - \frac{u ^{4}}{4}]_{0}^{h} = h^{4}

である。すなわち $S = (1 - 3 t^{2})^{2}$ である。

ここで $- \frac{1}{3} < t < \frac{1}{3}$ において $1 - 3 t^{2}$ は $t = 0$ で最大値1をとる。したがって $S ≦ 1$ であり，等号は $t = 0$ のとき成り立つ。よって求める最大値は $1$ である。

大阪大学 2007年度理系数学 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2007年度
理系数学第4問