大阪大学 2007年度理系数学第1問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．関数 $y = x$ のグラフを $C$ とし， $C$ 上の2点 $(n, n)$ と $(n + 1, n + 1)$ を通る直線を $l$ とする． $C$ と $l$ で囲まれた部分を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる回転体の体積を $V$ とする．このとき $n \to \infty lim n^{a} V = b$ を満たす正の数 $a$ ， $b$ を求めよ．

出典：大阪大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第1問

方針

弦の両端を $a = n$ ， $b = n + 1$ とおき， $x = n + u (0 ≦ u ≦ 1)$ で区間を長さ1にそろえる。曲線上の半径の2乗は $x = (1 - u) a^{2} + u b^{2}$ ，弦上の半径は $(1 - u) a + u b$ である。したがって断面積の差は $u (1 - u) (b - a)^{2}$ ときれいに出る。体積を積分で求めたあと， $(n + 1 - n)^{2} = 1/ (n + 1 + n)^{2}$ を使って極限を評価する。

解答

$a = n, b = n + 1$ とおく。また $x = n + u (0 ≦ u ≦ 1)$ とおく。このとき曲線 $C$ 上の点の $y$ 座標は $x$ であり，その2乗は $x = n + u = (1 - u) n + u (n + 1) = (1 - u) a^{2} + u b^{2}$ である。

一方，弦 $l$ 上の $y$ 座標は，両端の値を一次補間して $(1 - u) a + u b$ である。 $y = x$ は上に凸でない，すなわち下に曲がるグラフなので，この弦はグラフの下側にある。したがって回転体の体積 $V$ は $V = π \int_{0}^{1} {(1 - u) a^{2} + u b^{2} - ((1 - u) a + u b)^{2}} d u$ である。

ここで中身を整理すると

(1 - u) a^{2} + u b^{2} - ((1 - u) a + u b)^{2} = (1 - u) a^{2} + u b^{2} - ((1 - u)^{2} a^{2} + 2 u (1 - u) ab + u^{2} b^{2}) = u (1 - u) a^{2} + u (1 - u) b^{2} - 2 u (1 - u) ab = u (1 - u) (b - a)^{2}

である。よって $V = π (b - a)^{2} \int_{0}^{1} u (1 - u) d u = \frac{π}{6} (b - a)^{2}$ である。すなわち

V = \frac{π}{6} (n + 1 - n)^{2} = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{( n + 1 + n ) ^{2}}

である。

したがって $nV = \frac{π}{6} \cdot \frac{n}{( n + 1 + n ) ^{2}}$ であり， $\frac{n}{( n + 1 + n ) ^{2}} o \frac{1}{4}$ だから $lim_{n \to \infty} nV = \frac{π}{24}$ である。

また $V$ は $\frac{π}{24 n}$ と同じ程度で小さくなるので， $n^{a} V$ が正の有限値に収束するには $a = 1$ でなければならない。よって $a = 1, b = \frac{π}{24}$ である。

大阪大学 2007年度理系数学 第1問

問題

方針

解答

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理系数学第1問