大阪大学 2007年度理系数学第2問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) $x$ が正の数のとき $∣ lo g x ∣ ≦ \frac{∣ x - 1∣}{x}$ を示せ．

(2) $p, q, r$ が $p + q + r = 1$ を満たす正の数のとき $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ \frac{1}{3}$ を示せ．

(3) $a, b, c$ が相異なる正の数を， $a + b + c = 1$ を満たすとき $\frac{ab}{b - a} lo g \frac{b}{a} + \frac{b c}{c - b} lo g \frac{c}{b} + \frac{c a}{a - c} lo g \frac{a}{c} ≦ \frac{1}{3}$ を示せ．

出典：大阪大学 2007年度前期日程第2次学力試験理系第2問

方針

(1)は $u = x$ と置き， $u - \frac{1}{u} - 2 lo g u$ の増減で $x ≧ 1$ を示す。 $0 < x < 1$ は $1/ x$ に置き換えて同じ結果に帰着する。(2)は $(p - q)^{2} + (q - r)^{2} + (r - p)^{2} ≧ 0$ から平方和の下限を出す。(3)では，各対数項について $lo g (b / a)$ と $b - a$ の符号が同じであることを明記し，(1)を使って $\frac{ab}{b - a} lo g \frac{b}{a} ≦ ab$ と押さえる。最後に $p = a, q = b, r = c$ として(2)を使い， $pq + q r + r p ≦ \frac{1}{3}$ を導く。

解答

(1)

まず $x ≧ 1$ の場合を考える。 $u = x$ とおくと $u ≧ 1$ であり， $\frac{x - 1}{x} - lo g x = u - \frac{1}{u} - 2 lo g u$ である。そこで $F (u) = u - \frac{1}{u} - 2 lo g u$ とおく。すると $F^{'} (u) = 1 + \frac{1}{u ^{2}} - \frac{2}{u} = \frac{( u - 1 ) ^{2}}{u ^{2}} ≧ 0$ である。また $F (1) = 0$ なので， $u ≧ 1$ では $F (u) ≧ 0$ である。したがって $lo g x ≦ \frac{x - 1}{x}$ が成り立つ。

次に $0 < x < 1$ の場合を考える。このとき $1/ x > 1$ であるから，上で示した不等式を $1/ x$ に適用すると $lo g \frac{1}{x} ≦ \frac{\frac{1}{x} - 1}{1/ x} = \frac{1 - x}{x}$ である。 $0 < x < 1$ では $∣ lo g x ∣ = lo g \frac{1}{x}$ ， $∣ x - 1∣ = 1 - x$ だから $∣ lo g x ∣ ≦ \frac{∣ x - 1∣}{x}$ である。 $x ≧ 1$ の場合と合わせて，すべての正の $x$ で示された。

(2)

$p + q + r = 1$ より $(p + q + r)^{2} = 1$ である。また $(p - q)^{2} + (q - r)^{2} + (r - p)^{2} ≧ 0$ を展開すると $2 (p^{2} + q^{2} + r^{2} - pq - q r - r p) ≧ 0$ であるから $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ pq + q r + r p$ である。さらに $1 = (p + q + r)^{2} = p^{2} + q^{2} + r^{2} + 2 (pq + q r + r p)$ なので $1 ≦ 3 (p^{2} + q^{2} + r^{2})$ となる。よって $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ \frac{1}{3}$ である。

(3)

正の数 $a, b$ について， $lo g \frac{b}{a}$ と $b - a$ は同じ符号をもつ。したがって $a \neq = b$ のとき

\frac{ab}{b - a} lo g \frac{b}{a} = ab \cdot \frac{lo g \frac{b}{a}}{∣ b - a ∣}

である。(1)を $x = \frac{b}{a}$ に適用すると

lo g \frac{b}{a} ≦ \frac{\frac{b}{a} - 1}{b / a} = \frac{∣ b - a ∣}{ab}

である。よって $\frac{ab}{b - a} lo g \frac{b}{a} ≦ ab$ となる。

同様に

\frac{b c}{c - b} lo g \frac{c}{b} ≦ b c, \frac{c a}{a - c} lo g \frac{a}{c} ≦ c a

である。したがって示すべき左辺を $L$ とすると $L ≦ ab + b c + c a$ である。

ここで $p = a, q = b, r = c$ とおくと，条件より $p + q + r = 1$ である。また $ab + b c + c a = pq + q r + r p$ である。さらに $1 = (p + q + r)^{2} = p^{2} + q^{2} + r^{2} + 2 (pq + q r + r p)$ であり，(2)から $p^{2} + q^{2} + r^{2} ≧ \frac{1}{3}$ なので $pq + q r + r p = \frac{1 - ( p ^{2} + q ^{2} + r ^{2} )}{2} ≦ \frac{1}{3}$ である。以上より $L ≦ \frac{1}{3}$ となり，求める不等式が示された。

大阪大学 2007年度理系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2007年度
理系数学第2問