問題
平面上の点を通る直線が軸，軸とそれぞれ点，で交わるとする．点をを満たすようにとる．ただし，は平面の原点である．このとき，直線の傾きにかかわらず，点はある関数のグラフの上にある．関数を求めよ．
出典：大阪大学 2006年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
切片形 は，直線が原点を通る場合に となって使えない。そこで直線の傾きを とおき， を通る直線 として処理する。 軸・ 軸との交点 を で表し，ベクトル条件から の座標を出すと， を消去して が得られる。
解答
直線 が 軸， 軸の両方と交わるため，垂直線でも水平線でもない。したがって傾きを とおけ，さらに水平線でないので である。 を通るから と書ける。 軸との交点 は として より である。 軸との交点 は として より である。
ベクトル条件
から
である。したがって である。 とおくと であるから， を消去して を得る。逆に任意の に対して とおけば，上の構成で が得られる。したがって点 は関数 のグラフ上にある。