大阪大学 2006年度文系数学第1問解答・解説

問題

$a$ を実数とし，関数 $f (x) = x^{3} - 3 a x + a$ を考える． $0 ≦ x ≦ 1$ において $f (x) ≧ 0$ となるような $a$ の範囲を求めよ．

出典：大阪大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

不等式を $x$ ではなくパラメータ $a$ の条件として読む。 $f (x) = x^{3} + a (1 - 3 x)$ なので， $x = 1/3$ を境に $a$ の不等号の向きが変わる。 $0 ≦ x < 1/3$ からは $a$ の下限， $1/3 < x ≦ 1$ からは $a$ の上限を得る。境界 $x = 1/3$ では $f (1/3) > 0$ なので条件を追加せず，最後に2つの条件を合わせる。

解答

$f (x) = x^{3} - 3 a x + a = x^{3} + a (1 - 3 x)$ である。まず $x = 1/3$ では $f (\frac{1}{3}) = \frac{1}{27} > 0$ であり， $a$ によらず条件を満たす。 $0 ≦ x < 1/3$ では $1 - 3 x > 0$ であるから， $f (x) ≧ 0$ は $a ≧ - \frac{x ^{3}}{1 - 3 x}$ と同値である。右辺を $g (x) = - \frac{x ^{3}}{1 - 3 x}$ とおくと， $0 < x < 1/3$ で

g^{'} (x) = \frac{- 3 x ^{2} ( 1 - 3 x ) - 3 x ^{3}}{( 1 - 3 x ) ^{2}} = \frac{- 3 x ^{2} + 6 x ^{3}}{( 1 - 3 x ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} ( 2 x - 1 )}{( 1 - 3 x ) ^{2}} < 0

である。したがって $g (x)$ は $[0, 1/3)$ で最大値 $g (0) = 0$ をとる。よってこの範囲から必要十分な条件は $a ≧ 0$ である。

次に $1/3 < x ≦ 1$ では $1 - 3 x < 0$ であるから， $f (x) ≧ 0$ は $a ≦ \frac{x ^{3}}{3 x - 1}$ と同値である。右辺を $h (x) = \frac{x ^{3}}{3 x - 1}$ とおくと， $h^{'} (x) = \frac{3 x ^{2} ( 3 x - 1 ) - 3 x ^{3}}{( 3 x - 1 ) ^{2}} = \frac{3 x ^{2} ( 2 x - 1 )}{( 3 x - 1 ) ^{2}}$ である。したがって $h (x)$ は $1/3 < x < 1/2$ で減少し， $1/2 < x ≦ 1$ で増加する。最小値は $x = 1/2$ のときで， $h (\frac{1}{2}) = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}$ である。よってこの範囲から必要十分な条件は $a ≦ \frac{1}{4}$ である。

以上より， $0 ≦ x ≦ 1$ のすべてで $f (x) ≧ 0$ となるための $a$ の範囲は $0 ≦ a ≦ \frac{1}{4}$ である。

大阪大学 2006年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

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文系数学第1問