大阪大学 2006年度文系数学第2問解答・解説

問題

自然数 $m$ ， $n$ と $0 < a < 1$ を満たす実数 $a$ を，等式 $lo g_{2} 6 = m + \frac{1}{n + a}$ が成り立つようにとる．
以下の問いに答えよ．

(1) 自然数 $m$ ， $n$ を求めよ．

(2) 不等式 $a > \frac{2}{3}$ が成り立つことを示せ．

出典：大阪大学 2006年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

まず $2^{2} < 6 < 2^{3}$ から $m$ を決める。残りは $lo g_{2} 6 - 2 = lo g_{2} (3/2)$ なので， $n + a = 1/ lo g_{2} (3/2)$ と分かる。 $0 < a < 1$ より $n$ はこの数の整数部分で決まる。最後の $a > 2/3$ は小数近似を使わず，対数の不等式を指数の不等式 $(3/2)^{5} < 2^{3}$ に直して示す。

解答

(1)

$2^{2} < 6 < 2^{3}$ より $2 < lo g_{2} 6 < 3$ である。与式は $lo g_{2} 6 = m + \frac{1}{n + a}$ で， $n$ は自然数， $0 < a < 1$ だから $n + a > 1$ であり， $0 < \frac{1}{n + a} < 1$ である。したがって $m$ は $lo g_{2} 6$ の整数部分であり， $m = 2$ である。

このとき $\frac{1}{n + a} = lo g_{2} 6 - 2 = lo g_{2} \frac{3}{2}$ だから $n + a = \frac{1}{l o g _{2} ( 3/2 )}$ である。ここで $(\frac{3}{2})^{1} < 2, (\frac{3}{2})^{2} = \frac{9}{4} > 2$ より $lo g_{2} \frac{3}{2} < 1, lo g_{2} \frac{3}{2} > \frac{1}{2}$ である。したがって $1 < \frac{1}{l o g _{2} ( 3/2 )} < 2$ となる。 $0 < a < 1$ で $n$ は自然数なので $n = 1$ である。

(2)

(1)より $a = \frac{1}{l o g _{2} ( 3/2 )} - 1$ である。 $a > 2/3$ は $\frac{1}{l o g _{2} ( 3/2 )} > \frac{5}{3}$ と同値であり， $lo g_{2} (3/2) > 0$ だから $lo g_{2} \frac{3}{2} < \frac{3}{5}$ と同値である。これはさらに $\frac{3}{2} < 2^{3/5}$ すなわち $(\frac{3}{2})^{5} < 2^{3}$ と同値である。実際に $(\frac{3}{2})^{5} = \frac{243}{32}, 2^{3} = 8 = \frac{256}{32}$ であるから $(\frac{3}{2})^{5} < 2^{3}$ が成り立つ。よって $a > \frac{2}{3}$ である。

大阪大学 2006年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2006年度
文系数学第2問