大阪大学 2005年度文系数学第3問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ を

a_{1} = \frac{1}{3}, \frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = 1 (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

で定め，数列 ${b_{n}}$ を

b_{1} = a_{1} a_{2}, b_{n + 1} - b_{n} = a_{n + 1} a_{n + 2} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

で定める．

(1) 一般項 $a_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(2) 一般項 $b_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

出典：大阪大学 2005年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

(1) は逆数 $c_{n} = 1/ a_{n}$ を導入すると、与えられた差の条件がそのまま公差 $1$ の等差数列になる。(2) はまず $b_{n}$ を初項と階差の和として表し、(1) で求めた $a_{n}$ を代入する。積 $a_{k + 1} a_{k + 2}$ は部分分数分解で差に直せるため、中間項が消える。最後に $n = 1$ でも同じ式になることを確認する。

解答

(1)

$c_{n} = \frac{1}{a _{n}}$ とおく。条件より $\frac{1}{a _{n + 1}} - \frac{1}{a _{n}} = 1$ であるから、 $c_{n + 1} - c_{n} = 1$ である。また $c_{1} = \frac{1}{a _{1}} = 3$ である。したがって ${c_{n}}$ は初項 $3$ 、公差 $1$ の等差数列であり、 $c_{n} = 3 + (n - 1) = n + 2$ となる。よって $a_{n} = \frac{1}{n + 2}$ である。

(2)

与えられた階差の式から、 $n ≧ 2$ のとき

b_{n} = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 (b_{k + 1} - b_{k}) = b_{1} + k = 1 \sum n - 1 a_{k + 1} a_{k + 2}

である。ここで (1) より $a_{k + 1} a_{k + 2} = \frac{1}{( k + 3 ) ( k + 4 )} = \frac{1}{k + 3} - \frac{1}{k + 4}$ である。また $b_{1} = a_{1} a_{2} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{12}$ である。したがって

b_{n} = \frac{1}{12} + k = 1 \sum n - 1 (\frac{1}{k + 3} - \frac{1}{k + 4}) = \frac{1}{12} + (\frac{1}{4} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{6}) + \dots + (\frac{1}{n + 2} - \frac{1}{n + 3}) = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} - \frac{1}{n + 3} .

ここで $\frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$ だから、 $b_{n} = \frac{1}{3} - \frac{1}{n + 3} = \frac{n}{3 ( n + 3 )}$ である。 $n = 1$ のときも $\frac{1}{3 ( 1 + 3 )} = \frac{1}{12} = b_{1}$ なので、すべての正の整数 $n$ で成り立つ。

別解。 $b_{n}$ の式を予想してから帰納法で確認してもよい。候補を $b_{n} = \frac{n}{3 ( n + 3 )}$ とする。 $n = 1$ では $b_{1} = 1/12$ で正しい。またこの式から

b_{n + 1} - b_{n} = \frac{n + 1}{3 ( n + 4 )} - \frac{n}{3 ( n + 3 )} = \frac{( n + 1 ) ( n + 3 ) - n ( n + 4 )}{3 ( n + 3 ) ( n + 4 )} = \frac{3}{3 ( n + 3 ) ( n + 4 )} = \frac{1}{( n + 3 ) ( n + 4 )}

となる。一方、(1) より $a_{n + 1} a_{n + 2} = \frac{1}{( n + 3 ) ( n + 4 )}$ であるから、階差の条件も満たす。よって同じ一般項が得られる。

大阪大学 2005年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2005年度
文系数学第3問