問題
次の問いに答えよ．
(1) 不等式をみたす実数の範囲を求めよ．
(2) とを同時にみたす整数の組の個数を求めよ．
出典：大阪大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1) は底 が より大きいことを確認してから指数を比較する。(2) はまず整数 の取り得る範囲を決める。 では が正で 未満になって整数が存在しないこと、 では下限 が上限 を超えることを使う。残る について、上限は と の小さい方であることを明示して個数を数える。
解答
(1)
底 は より大きいので、指数関数 は単調増加である。したがって は と同値である。よって である。
(2)
整数の組 を数える。条件 を同時に満たすには、特に でなければならない。
まず のときは となる。すると は を満たす整数でなければならず、そのような整数は存在しない。したがって である。
また、少なくとも下限が上限 を超えてはいけないので が必要である。(1) より である。よって調べるべき整数 は だけである。
各 について の範囲を数える。
ここで では 、 では が上限になる。
したがって求める個数は である。