問題
とおく．
(1) 関数の増減表を作り，のグラフの概形を描け．
(2) 直線が曲線と相異なる3点で交わるような実数の範囲を求めよ．
方針
(1) は の符号を調べ、極大・極小の値、 軸との交点、左右の端での振る舞いをそろえて概形を決める。(2) は交点の 座標が ではないことを確認し、 と見て、直線の傾き を点 と原点を結ぶ傾きとして調べる。 側で最小値 をとること、 側では単調増加で常に1点を与えることから、境界 では接してしまい、相異なる3点になるのは だけである。
解答
(1)
導関数は である。したがって となるのは
である。符号を調べると、 は と 、 は である。
また
である。よって増減表は
となる。
さらに であり、 の判別式は である。したがって 軸との交点は だけである。
以上より、グラフは左下から増加して で極大値 をとり、その後 で極小値 をとってから増加し、 で 軸を横切って右上へ進む概形である。極大値も極小値も負であるため、 軸との交点が右側に1つだけであることを図に反映させる。
(2)
直線 と曲線 の交点では が成り立つ。ここで とすると であり交点ではない。したがって として割ることができ、 と書ける。この右辺を とおく。
導関数は である。 の判別式は で、先頭係数が正だから常に正である。また である。よって の符号は の符号で決まる。
したがって は で減少し、 と で増加する。さらに
である。
このため、 の範囲では のときに2個、 のときに1個、 のときに0個の解をもつ。一方、 の範囲では が から まで単調に増加するので、任意の に対して1個の解をもつ。
相異なる3点で交わるには、 に2点、 に1点が必要である。したがって条件は である。
別解。三次方程式そのものの増減からも同じ境界を得られる。 とおく。もし が相異なる3つの実数解をもつなら、三次関数の極大値は正、極小値は負でなければならない。極値をとる点を とすると なので であり、 となる。ここで だから、極大値が正になるには、左側の極値の位置が であることが必要である。左側の極値は であるから、 は と同値である。逆に なら であり、さらに 、 である。中間値の定理より 、、 にそれぞれ1つずつ解がある。三次方程式なのでこれで3解すべてであり、やはり が得られる。