大阪大学 2004年度文系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を自然数とする．プレイヤー $A$ ， $B$ がサイコロを交互に投げるゲームをする．最初は $A$ が投げ，先に1の目を出した方を勝ちとして終わる．ただし， $A$ が $n$ 回投げても勝負がつかない場合は $B$ の勝ちとする．

(1) $A$ の $k$ 投目 $(1 ≦ k ≦ n)$ で $A$ が勝つ確率を求めよ．

(2) このゲームにおいて $A$ が勝つ確率 $P_{n}$ を求めよ．

(3) $P_{n} > \frac{1}{2}$ となるような最小の $n$ の値を求めよ．ただし， $lo g_{10} 2 = 0.3010$ ， $lo g_{10} 3 = 0.4771$ として計算してよい．

出典：大阪大学 2004年度前期日程第2次学力試験文系第3問

方針

$A$ が $k$ 投目で勝つには、それ以前の $A$ の $k - 1$ 回と $B$ の $k - 1$ 回のすべてで1が出ず、次の $A$ の投球で1が出ればよい。(2)は(1)を $k = 1$ から $n$ まで足す等比数列である。 $A$ が $n$ 回投げても勝負がつかない場合は $B$ の勝ちなので、 $A$ の勝率には $A$ の $n$ 投目までの勝ちだけを足せばよい。(3)は $(25/36)^{n} < 1/12$ を常用対数で解き、最小の自然数を決める。

解答

(1)

$A$ が $k$ 投目で勝つには、 $A$ のそれ以前の $k - 1$ 回の投球と、 $B$ のそれ以前の $k - 1$ 回の投球で、どちらも1を出していない必要がある。その確率は $(\frac{5}{6})^{2 (k - 1)}$ である。そのうえで、 $A$ の $k$ 投目に1が出ればよいので、

(\frac{5}{6})^{2 (k - 1)} \frac{1}{6} = \frac{1}{6} (\frac{25}{36})^{k - 1}

である。

(2)

$A$ が勝つのは、 $A$ の1投目、2投目、 $\dots$ 、 $n$ 投目のいずれかで初めて1を出す場合である。したがって $P_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{6} (\frac{25}{36})^{k - 1}$ である。これは初項 $1/6$ 、公比 $25/36$ の等比数列の和なので、

P_{n} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1 - ( \frac{25}{36} ) ^{n}}{1 - \frac{25}{36}} = \frac{6}{11} {1 - (\frac{25}{36})^{n}}

である。

(3)

$P_{n} > \frac{1}{2}$ は $\frac{6}{11} {1 - (\frac{25}{36})^{n}} > \frac{1}{2}$ と同値である。整理すると $1 - (\frac{25}{36})^{n} > \frac{11}{12}$ すなわち $(\frac{25}{36})^{n} < \frac{1}{12}$ である。

常用対数をとる。 $0 < 25/36 < 1$ なので、対数をとると $n lo g_{10} \frac{25}{36} < - lo g_{10} 12$ である。与えられた値から $lo g_{10} 5 = 1 - lo g_{10} 2 = 0.6990$ であり、 $lo g_{10} 6 = lo g_{10} 2 + lo g_{10} 3 = 0.7781$ である。したがって

lo g_{10} \frac{25}{36} = 2 lo g_{10} 5 - 2 lo g_{10} 6 = 2 (0.6990) - 2 (0.7781) = - 0.1582

である。また $lo g_{10} 12 = lo g_{10} 3 + 2 lo g_{10} 2 = 0.4771 + 0.6020 = 1.0791$ である。

よって $n > \frac{1.0791}{0.1582}$ である。実際に $6 \cdot 0.1582 = 0.9492 < 1.0791, 7 \cdot 0.1582 = 1.1074 > 1.0791$ だから、最小の $n$ は $7$ である。

大阪大学 2004年度文系数学 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2004年度
文系数学第3問