問題
3次関数に関して以下の問いに答えよ．
(1) が極値をもつための条件を，の係数を用いて表せ．
(2) がで極大，で極小になるとき，点と点を結ぶ直線の傾きをの係数を用いて表せ．また，のグラフは平行移動によってのグラフに移ることを示せ．
出典：大阪大学 2004年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
(1)は導関数 が異なる2つの実数解をもつ条件で判定する。(2)では極大点・極小点の 座標 が の2根であることを使い、和と積から直線の傾き を係数で表す。さらに を と置いて3次関数の2次項を消すと、残る1次係数が になる。定数項は縦方向の平行移動で消せるため、標準形 に移る。
解答
(1)
である。3次関数 が極値をもつためには、 が異なる2つの実数解をもてばよい。したがって判別式が正であることが条件である。 より である。したがって が求める条件である。
(2)
が で極大、 で極小をとるとする。このとき は の2つの解である。よって の解と見れば、 である。
2点 , を結ぶ直線の傾きは である。分子を因数分解すると
したがって である。ここで
だから、 である。
次に、グラフの平行移動を考える。、すなわち と置くと、
である。上で求めた から である。したがって となる。
定数項 は縦方向の平行移動で消せる。よって、 のグラフは平行移動によって のグラフに移る。