問題
座標平面上で不等式の表す領域をとする．内にあり軸上に中心をもち原点を通る円のうち，最も半径の大きい円をとする．自然数について，円が定まったとき，の上部でに外接する円で，内にあり軸上に中心をもつもののうち，最も半径の大きい円をとする．の半径をとし，とする．
(1) を求めよ．
(2) のときをで表せ．
(3) をの式で表せ．
方針
中心が 軸上にあり原点を通る円は、下端または接点の高さで管理するとよい。放物線 の上側領域 に円全体が入る最大条件は、円の下側の弧が放物線に接することである。下端の高さを 、半径を とする円の中心は であり、放物線との接触条件から が得られる。 は前の円群の上に積まれるので、 の下端の高さは 。これを接触条件に代入し、 と置くと等差数列に直る。
解答
(1)
の中心を 、半径を とする。原点を通るので、中心の高さと半径は等しい。円の下側の弧は である。円が領域 に含まれるためには、下側の弧が放物線以上にあればよい。
特に原点近くで最大になるときは、円と放物線が原点で接する。円 を原点付近で見ると、接線は であり、曲率の比較から最大の場合は放物線 と原点で2次の項まで一致する。円の下側を展開せずに接触条件で見ると、半径 の円の原点での曲率は 、放物線 の原点での曲率は2であるから、接する最大半径は である。したがって である。
(2)
一般に、下端の高さが 、半径が で、中心が 軸上にある円を考える。中心は である。この円が 内にあり、半径が最大になるとき、円の下側の弧は放物線 に接する。
接点を とする。円の中心と接点を結ぶ半径は、放物線の法線方向にある。放物線 の接線の傾きは なので、法線の傾きは である。中心 と接点 を結ぶ直線の傾きは であるから、 となる。よって である。
また中心と接点の距離が半径 であるから、 である。上の式より なので である。したがって を得る。 のとき、 は の上部で外接して積み上がる。 の直径の和は であるから、 の下端の高さは である。よって であり、半径は正で上側に積まれるので である。
(3)
とおく。(2)より である。したがって
よって である。 だから である。したがって であり、 である。ゆえに である。