問題
平面上に原点を中心とする半径1の円を考える．の直径を1つとり，その両端を，とする．円の周上の任意の点に対し，線分をの比に内分する点をとする．いまを正の定数として，とおく．ただし，のときはとする．また，，とおく．
(1) を，を用いて表せ．
(2) 点が円の周上を動くとき，となるような点がえがく図形をとする．は円であることを示し，中心の位置ベクトルと半径を求めよ．
(3) 円の内部に点が含まれるようなの値の範囲を求めよ．
出典：大阪大学 2002年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
直径の両端なので 、また は を に内分するので、内分公式から と表す。すると は の一次式になる。 であるため、 の軌跡は中心が固定ベクトル、半径が の係数の絶対値である円になる。最後は点 とこの中心の距離を半径と比較する。
解答
(1)
は円 の直径の両端であり、 だから である。
また、 は線分 を に内分する点である。すなわち であるから、内分公式より
である。したがって
である。
(2)
であるから、(1) より
である。整理すると
となる。
点 は円 の周上を動くので である。また だから である。したがって の位置ベクトル は、固定点 を中心として、半径 の円を描く。よって は円であり、
である。
(3)
点 の位置ベクトルは である。 なので、 と の中心との距離は
である。
点 が円 の内部に含まれるための必要十分条件は、この距離が半径より小さいことである。すなわち である。
この絶対値不等式は と同値である。右側の不等式から すなわち を得る。左側の不等式から すなわち より を得る。
よって求める範囲は である。