大阪大学 2002年度文系数学第1問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) 実数の定数 $p$ に対して，3次方程式 $x^{3} + x - p = 0$ の実数解の個数は1個であることを示せ．

(2) $p$ ， $q$ は定数で $p ≧ 2$ ， $q ≧ 2$ とする．2つの3次方程式 $x^{3} + x - p = 0$ ， $x^{3} + x - q = 0$ の実数解をそれぞれ $α$ ， $β$ とするとき

∣ α - β ∣ ≦ \frac{1}{4} ∣ p - q ∣

が成立することを示せ．

出典：大阪大学 2002年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

(1) は $f (x) = x^{3} + x - p$ の導関数が常に正であることから、実数全体での単調増加と両端の符号を押さえる。(2) では、(1) により各方程式の実数解が一意に定まるので、 $p = α^{3} + α$ , $q = β^{3} + β$ と戻して差を因数分解する。 $p, q ≧ 2$ から $α, β ≧ 1$ を得ることが決定的で、 $α^{2} + α β + β^{2} + 1 ≧ 4$ を示せば目標の不等式になる。別解として平均値の定理を使うと、逆関数の傾きが最大 $1/4$ 以下であることとして読める。

解答

(1)

$f (x) = x^{3} + x - p$ とおく。このとき $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 > 0$ であるから、 $f (x)$ は実数全体で狭義単調増加である。

また $lim_{x \to - \infty} f (x) = - \infty, lim_{x \to \infty} f (x) = \infty$ である。したがって $f (x) = 0$ は少なくとも1つの実数解をもつ。一方、狭義単調増加であるから、実数解を2つ以上もつことはない。よって $x^{3} + x - p = 0 の実数解の個数は 1 個$ である。

(2)

$x^{3} + x - p = 0$ の実数解を $α$ 、 $x^{3} + x - q = 0$ の実数解を $β$ とする。すると $p = α^{3} + α, q = β^{3} + β$ である。

関数 $g (x) = x^{3} + x$ は (1) と同様に狭義単調増加であり、 $g (1) = 2$ である。 $p ≧ 2$ , $q ≧ 2$ だから $α ≧ 1, β ≧ 1$ である。

ここで差を取ると $p - q = (α^{3} - β^{3}) + (α - β)$ であり、因数分解して $p - q = (α - β) (α^{2} + α β + β^{2} + 1)$ を得る。 $α, β ≧ 1$ より $α^{2} + α β + β^{2} + 1 ≧ 1 + 1 + 1 + 1 = 4$ である。したがって

∣ p - q ∣ = ∣ α - β ∣ (α^{2} + α β + β^{2} + 1) ≧ 4∣ α - β ∣

となる。よって $∣ α - β ∣ ≦ \frac{1}{4} ∣ p - q ∣$ である。

別解。(2) は平均値の定理でも示せる。 $g (x) = x^{3} + x$ とおくと、 $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 1$ である。 $α, β ≧ 1$ だから、 $α$ と $β$ の間の任意の $x$ について $g^{'} (x) = 3 x^{2} + 1 ≧ 4$ である。 $α \neq = β$ のとき、平均値の定理よりある $ξ$ が存在して $\frac{p - q}{α - β} = g^{'} (ξ) ≧ 4$ の絶対値版が成り立つので、 $∣ p - q ∣ ≧ 4∣ α - β ∣$ となる。 $α = β$ の場合は自明である。

大阪大学 2002年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2002年度
文系数学第1問