大阪大学 2002年度文系数学第2問解答・解説

問題

平面上に3つの放物線

C_{1} : y = - x (x - 1), C_{2} : y = x (x - 1), C : y = \frac{1}{2} x^{2} + a x + b

を考える．いま実数 $t$ に対して， $C$ は $C_{1}$ 上の点 $(t, - t^{2} + t)$ を通り，その点で $C_{1}$ と共通の接線をもつとする．

(1) $a$ ， $b$ を $t$ を用いて表せ．

(2) 2つの放物線 $C$ ， $C_{2}$ で囲まれた部分の面積 $S$ を $t$ を用いて表せ．

(3) $t$ を動かすとき， $S$ の最小値を求めよ．

出典：大阪大学 2002年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1) は接点での $y$ 座標の一致と接線の傾きの一致を式にする。(2) では $C_{2} - C$ が2次式になり、2つの交点間でその符号が一定になる。零点間の距離を判別式から求め、 $\int_{r_{1}}^{r_{2}} A (x - r_{1}) (x - r_{2}) d x$ 型の面積公式を使うと、計算を短く整理できる。(3) は面積式に現れる $3 t^{2} - 3 t + 1$ の最小化に帰着する。

解答

(1)

$C_{1} : y = - x (x - 1) = - x^{2} + x$ であるから、 $C_{1}$ の導関数は $y^{'} = - 2 x + 1$ である。一方、 $C : y = \frac{1}{2} x^{2} + a x + b$ の導関数は $y^{'} = x + a$ である。 $C$ が $C_{1}$ 上の点 $(t, - t^{2} + t)$ で共通の接線をもつので、まず傾きの一致から $t + a = - 2 t + 1$ である。したがって $a = 1 - 3 t$ である。

また $C$ がこの点を通るから $\frac{1}{2} t^{2} + a t + b = - t^{2} + t$ である。 $a = 1 - 3 t$ を代入すると $\frac{1}{2} t^{2} + (1 - 3 t) t + b = - t^{2} + t$ より $- \frac{5}{2} t^{2} + t + b = - t^{2} + t$ となる。よって $b = \frac{3}{2} t^{2}$ である。

(2)

$C_{2} : y = x (x - 1) = x^{2} - x$ であるから、 $C_{2} - C = x^{2} - x - (\frac{1}{2} x^{2} + (1 - 3 t) x + \frac{3}{2} t^{2})$ $= \frac{1}{2} x^{2} + (3 t - 2) x - \frac{3}{2} t^{2}$ である。この2次式を $h (x)$ とおく。

判別式は

D = (3 t - 2)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3}{2} t^{2}) = 12 t^{2} - 12 t + 4 = 4 (3 t^{2} - 3 t + 1)

である。 $3 t^{2} - 3 t + 1 = 3 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4} > 0$ なので、2つの交点は常に異なる。2つの零点を $r_{1} < r_{2}$ とすると、零点の差は $r_{2} - r_{1} = \frac{D}{1/2} = 4 3 t^{2} - 3 t + 1$ である。 $h (x)$ は上に凸であるから、 $r_{1} < x < r_{2}$ では $h (x) < 0$ である。したがって囲まれる面積は $S = \int_{r_{1}}^{r_{2}} - h (x) d x$ である。一般に $h (x) = \frac{1}{2} (x - r_{1}) (x - r_{2})$ なので、 $L = r_{2} - r_{1}$ とおくと

S = \frac{1}{2} \int_{r_{1}}^{r_{2}} (x - r_{1}) (r_{2} - x) d x = \frac{1}{2} \cdot \frac{L ^{3}}{6} = \frac{L ^{3}}{12}

である。よって

S = \frac{1}{12} (4 3 t^{2} - 3 t + 1)^{3} = \frac{16}{3} (3 t^{2} - 3 t + 1)^{3/2}

である。

(3)

面積 $S$ は $3 t^{2} - 3 t + 1$ の増加関数として表されている。ここで $3 t^{2} - 3 t + 1 = 3 (t - \frac{1}{2})^{2} + \frac{1}{4}$ であるから、最小値は $t = \frac{1}{2}$ のときである。このとき

S_{m i n} = \frac{16}{3} (\frac{1}{4})^{3/2} = \frac{16}{3} \cdot \frac{1}{8} = \frac{2}{3}

である。

別解。(2) の面積は、2次式の標準形から直接出してもよい。 $h (x)$ の軸を中心に $u = x - \frac{r _{1} + r _{2}}{2}$ とおくと、交点間では $- h (x) = \frac{1}{2} ((\frac{L}{2})^{2} - u^{2})$ である。よって

S = \frac{1}{2} \int_{- L /2}^{L /2} (\frac{L ^{2}}{4} - u^{2}) d u = \frac{L ^{3}}{12}

となり、同じ式に至る。

大阪大学 2002年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2002年度
文系数学第2問