大阪大学 2001年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

点 $P$ は $A (- 1, 0)$ から単位円上を時計回りに動き、時刻 $t$ に $∠ P O A = t$ を満たす。 $P$ を通る鉛直線と $y = - 1$ の交点を $H$ とする。点 $Q$ は $P$ のまわりを反時計回りに、 $P Q = t$ 、 $∠ H P Q = t$ を満たすように動く。時刻 $π$ の $Q$ を $B$ とする。

(1) 時刻 $t$ の $Q = (x, y)$ を求め、 $y$ が単調増加することを示せ。

(2) $j π /6 < t < (j + 1) π /6$ で $x$ が最大となる整数 $j$ を求めよ。

(3) $A$ を通る鉛直線、 $B$ を通る水平線、 $Q$ の軌跡で囲まれる面積 $S$ を求めよ。

出典：大阪大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

方針

$P = (- cos t, sin t)$ と置く。下向きの $P H$ を反時計回りに $t$ 回した単位方向ベクトルは $(sin t, - cos t)$ なので $Q$ が得られる。(2)は $x^{'}$ の零点を六等分区間で挟む。(3)は $y$ の単調性を使い $S = \int (x + 1) d y$ とする。

解答

(1)

時計回りの運動より

P = (- cos t, sin t) .

$P H$ は鉛直下向きであり、これを反時計回りに角 $t$ 回した単位ベクトルは $(sin t, - cos t)$ である。 $P Q = t$ だから

Q = P + t (sin t, - cos t) .

従って

x = - cos t + t sin t, y = sin t - t cos t .

微分すると

y^{'} = t sin t ≧ 0 (0 ≦ t ≦ π),

しかも $0 < t < π$ では正だから、 $y$ は単調に増加する。

(2)

x^{'} = 2 sin t + t cos t .

$0 < t ≦ π /2$ では $x^{'} > 0$ である。 $π /2 < t < π$ では

x^{''} = 3 cos t - t sin t < 0

なので $x^{'}$ は狭義単調減少する。また

x^{'} (\frac{2 π}{3}) = 3 - \frac{π}{3} > 0,

x^{'} (\frac{5 π}{6}) = 1 - \frac{5 3 π}{12} < 0.

従って $x^{'} = 0$ となる点はただ1つで

\frac{4 π}{6} < t < \frac{5 π}{6}

にある。この点で $x$ は最大となるから

j = 4.

(3)

時刻 $π$ では $B = (1, π)$ である。(1)より $y$ は0から $π$ まで単調に増え、軌跡は鉛直線 $x = - 1$ の右側にある。従って

S = \int_{0}^{π} (x + 1) d y = \int_{0}^{π} {- cos t + t sin t + 1} t sin t d t .

これを

\int_{0}^{π} t sin t d t - \int_{0}^{π} t sin t cos t d t + \int_{0}^{π} t^{2} sin^{2} t d t

に分ける。部分積分と $sin^{2} t = (1 - cos 2 t) /2$ より、それぞれ

π, - \frac{π}{4}, \frac{π ^{3}}{6} - \frac{π}{4}

である。従って

S = π - (- \frac{π}{4}) + \frac{π ^{3}}{6} - \frac{π}{4} = π + \frac{π ^{3}}{6} .

大阪大学 2001年度後期・理系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2001年度
後期・理系数学後期第3問