大阪大学 2001年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

楕円 $x^{2} / a^{2} + y^{2} / b^{2} = 1 (a > b > 0)$ の第2象限の点を $P$ とする。 $P$ での接線 $l$ に平行で原点を通る直線を $m$ とし、 $m$ と楕円の第1象限の交点を $A$ とする。 $P$ から $m$ へ下ろした垂線の足を $B$ とする。正の $x$ 座標をもつ焦点を $F$ とし、直線 $F P$ と $m$ の交点を $C$ とする。

(1) $O A \cdot P B = ab$ を示せ。

(2) $P C = a$ を示せ。

出典：大阪大学 2001年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

$P = (- a cos θ, b sin θ)$ と第2象限に置く。接線方向に平行な $m$ と楕円の交点 $A$ を媒介変数で求め、底辺と高さの積を行列式で計算する。(2)は焦点距離 $P F = a + e cos θ$ と、直線 $F P$ を内分する比を求める。

解答

(1)

$0 < θ < π /2$ として

P = (- a cos θ, b sin θ)

とおく。 $P$ における接線の方向ベクトルは

d = (- a sin θ, - b cos θ)

である。従って $m$ の第1象限向きの方向は $- d = (a sin θ, b cos θ)$ であり、この点は楕円上にもある。よって

A = (a sin θ, b cos θ), O A = a^{2} sin^{2} θ + b^{2} cos^{2} θ .

$P B$ は点 $P$ と直線 $m$ の距離である。平行四辺形の面積を使うと

P B = \frac{∣ det ( P , A ) ∣}{O A} = \frac{ab ( cos ^{2} θ + sin ^{2} θ )}{O A} = \frac{ab}{O A} .

従って

O A \cdot P B = ab .

(2)

$e = a^{2} - b^{2}$ とすれば $F = (e, 0)$ である。まず

P F^{2} = (- a cos θ - e)^{2} + b^{2} sin^{2} θ = (a + e cos θ)^{2}

だから

P F = a + e cos θ .

直線 $F P$ 上で

C = P + μ (F - P), μ = \frac{a}{a + e cos θ}

とおく。このとき

P C = μ P F = a .

あとは $C$ が $m$ 上にあることを確かめればよい。 $C = (X, Y)$ とすると、 $m$ の方向 $(a sin θ, b cos θ)$ との平行条件は

b cos θ X - a sin θ Y = 0

である。上の $C$ を代入した左辺は

- a + μ (a + e cos θ) = 0

となる。従って $C \in m$ であり、実際に $P C = a$ である。

大阪大学 2001年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2001年度
後期・理系数学後期第2問