問題
各整数に対し，座標平面上の点，をとり，3点，，を頂点とする三角形を考える．また，各自然数に対し
とおく．曲線上の動点が，点から出発して座標が大きくなる方向に動くとき，三角形のうち，が最初にその内部を通過するものがとなるようなをすべて求めよ．ただし，とする．
方針
三角形 の内部条件を、 の範囲と斜辺の下側という不等式で書く。曲線 は単調減少し、三角形の斜辺 は各小区間で単調増加するので、曲線がその三角形の内部に入るかどうかは右端で1を下回るかに帰着できる。最初に通過する三角形が である条件は、 までは通らず は通る、という2つの不等式に直し、常用対数で の範囲を求める。
解答
三角形 は、底辺が 軸上の にあり、斜辺は と を結ぶ直線である。この斜辺の方程式は である。したがって の内部条件は である。
曲線上の点は を満たす。この関数は が増えると単調に減少し、一方 は単調に増加する。左端 では斜辺の高さが0で曲線の高さは正だから、曲線はまだ三角形の内部にない。よって曲線が の内部を通過するための必要十分条件は、右端の直前で斜辺の高さ1を曲線が下回ることである。すなわち である。等号の場合は右上の頂点 に達するだけで、内部は通過しないことに注意する。
最初に内部を通過する三角形が であるためには、 は通過せず、 は通過すればよい。したがって である。常用対数をとると となる。したがって である。 より であり、 である。 は自然数なので である。
別解。曲線の高さが1になる 座標を求めると より である。 を通過するのは、右端 がこの値を越えるとき、すなわち のときである。最初に成り立つ が8である条件は であり、これは上で得た不等式と同じである。