大阪大学 2001年度文系数学第1問解答・解説

問題

座標平面上の4点

A (1, 0), B (2, 0), C (2, 8), D (1, 8)

を頂点とする長方形を $R$ とする．また $0 < t < 4$ に対し，原点 $O (0, 0)$ ，点 $E (4, 0)$ ，および点 $P (t, 8 t - 2 t^{2})$ の3点を頂点とする三角形を $T (t)$ とする．

(1) $R$ の内部と $T (t)$ の内部との共通部分の面積 $f (t)$ を求めよ．

(2) $t$ が $0 < t < 4$ の範囲で動くとき， $f (t)$ を最大にする $t$ の値と，そのときの最大値を求めよ．

出典：大阪大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系第1問

方針

点 $P$ の高さを $h = 8 t - 2 t^{2} = 2 t (4 - t)$ とおくと、三角形 $T (t)$ の上側の境界は、 $0 ≦ x ≦ t$ では直線 $O P$ 、 $t ≦ x ≦ 4$ では直線 $P E$ で与えられる。長方形 $R$ は $1 ≦ x ≦ 2$ の縦長領域なので、 $t$ が1と2をまたぐ位置によって、積分すべき上端の式が変わる。したがって $0 < t ≦ 1$ 、 $1 ≦ t ≦ 2$ 、 $2 ≦ t < 4$ に分け、各区間で面積を一次式または二次式として求める。最大値は3つの式をそれぞれ調べ、中央の二次関数の頂点が範囲内に入るかを確認する。

解答

(1)

点 $P$ の $y$ 座標を $h = 8 t - 2 t^{2} = 2 t (4 - t)$ とおく。 $0 < t < 4$ なので $h > 0$ である。直線 $O P$ の方程式は $y = \frac{h}{t} x = (8 - 2 t) x$ であり、直線 $P E$ の方程式は $y = \frac{h}{4 - t} (4 - x) = 2 t (4 - x)$ である。長方形 $R$ では $1 ≦ x ≦ 2$ であり、また $h ≦ 8$ だから、三角形の上端までの高さを積分すれば共通部分の面積が得られる。

まず $0 < t ≦ 1$ のとき、 $1 ≦ x ≦ 2$ はすべて $x ≧ t$ にあるので、上端は直線 $P E$ である。したがって $f (t) = \int_{1}^{2} 2 t (4 - x) d x = 2 t [4 x - \frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{2} = 5 t$ である。

次に $1 ≦ t ≦ 2$ のとき、 $1 ≦ x ≦ t$ では直線 $O P$ 、 $t ≦ x ≦ 2$ では直線 $P E$ が上端になる。よって $f (t) = \int_{1}^{t} (8 - 2 t) x d x + \int_{t}^{2} 2 t (4 - x) d x$ である。各項を計算すると $\int_{1}^{t} (8 - 2 t) x d x = (4 - t) (t^{2} - 1)$ かつ $\int_{t}^{2} 2 t (4 - x) d x = 2 t (6 - 4 t + \frac{t ^{2}}{2}) = 12 t - 8 t^{2} + t^{3}$ であるから $f (t) = - 4 t^{2} + 13 t - 4$ となる。

最後に $2 ≦ t < 4$ のとき、 $1 ≦ x ≦ 2$ はすべて $x ≦ t$ にあるので、上端は直線 $O P$ である。したがって $f (t) = \int_{1}^{2} (8 - 2 t) x d x = (8 - 2 t) [\frac{x ^{2}}{2}]_{1}^{2} = 12 - 3 t$ である。

以上より

f (t) = ⎩ ⎨ ⎧ 5 t - 4 t^{2} + 13 t - 4 12 - 3 t (0 < t ≦ 1), (1 ≦ t ≦ 2), (2 ≦ t < 4)

である。

(2)

$0 < t ≦ 1$ では $f (t) = 5 t$ だから、この範囲での最大値は $t = 1$ のときの $5$ である。 $2 ≦ t < 4$ では $f (t) = 12 - 3 t$ だから、この範囲での最大値は $t = 2$ のときの $6$ である。

中央の範囲では $f (t) = - 4 t^{2} + 13 t - 4$ であり、これは上に凸の二次関数である。頂点は $t = \frac{13}{8}$ で、これは $1 ≦ t ≦ 2$ に含まれる。このとき

f (\frac{13}{8}) = - 4 \cdot \frac{169}{64} + 13 \cdot \frac{13}{8} - 4 = \frac{105}{16}

である。 $105/16 > 6 > 5$ なので、全体での最大値は $\frac{105}{16}$ であり、それを与える $t$ は $t = \frac{13}{8}$ である。

別解。中央の場合 $1 ≦ t ≦ 2$ は、共通部分を左の台形と右の台形に分けてもよい。左側の幅は $t - 1$ 、左右の高さは $8 - 2 t$ と $h$ であるから面積は $\frac{( 8 - 2 t ) + h}{2} (t - 1)$ である。右側の幅は $2 - t$ 、左右の高さは $h$ と $4 t$ であるから面積は $\frac{h + 4 t}{2} (2 - t)$ である。 $h = 8 t - 2 t^{2}$ を代入して足すと、同じく $f (t) = - 4 t^{2} + 13 t - 4$ を得る。積分を使わずに面積公式だけで処理しても、場合分けの境目は $t = 1, 2$ で変わらない。

大阪大学 2001年度文系数学 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 2001年度
文系数学第1問