大阪大学 2001年度文系数学第2問解答・解説

問題

空間ベクトル $x = (x_{1}, x_{2}, x_{3})$ ， $y = (y_{1}, y_{2}, y_{3})$ を考える．ただし，どちらも零ベクトルではないとする． $k = 1, 2, 3$ に対し，複素数

z_{k} = x_{k} + y_{k} i (i = - 1 は虚数単位)

を考え，複素数 $w_{k} = u_{k} + v_{k} i$ （ $u_{k}$ ， $v_{k}$ は実数）を $w_{k} = (3 + i) z_{k}$ で定める．
さらに $u_{k}$ ， $v_{k}$ から定まるベクトル

u = (u_{1}, u_{2}, u_{3}), v = (v_{1}, v_{2}, v_{3})

を考える．

(1) $x$ の大きさを $r$ ， $y$ の大きさを $s$ ， $x$ と $y$ のなす角を $θ$ $(0^{\circ} ≦ θ ≦ 180^{\circ})$ とするとき $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2}$ を $r$ ， $s$ ， $θ$ で表せ．

(2) $x$ と $y$ の大きさが等しく，両者はたがいに垂直であるとする．このとき $u$ と $v$ も大きさが等しく，たがいに垂直であることを示せ．

(3) (2)の仮定のもとで， $x$ と $u$ のなす角を求めよ．

出典：大阪大学 2001年度前期日程第2次学力試験文系第2問

方針

(1)は $z_{k}^{2} = (x_{k}^{2} - y_{k}^{2}) + 2 x_{k} y_{k} i$ を足し合わせ、 $\sum x_{k}^{2} = ∣ x ∣^{2}$ 、 $\sum y_{k}^{2} = ∣ y ∣^{2}$ 、 $\sum x_{k} y_{k} = x \cdot y$ に置き換える。(2)(3)では、 $w_{k} = (3 + i) z_{k}$ を実部・虚部に分けて $u = 3 x - y$ 、 $v = x + 3 y$ を得る。あとは仮定 $∣ x ∣ = ∣ y ∣$ 、 $x \cdot y = 0$ を用いて長さ、内積、なす角を順に計算する。

解答

(1)

$z_{k} = x_{k} + y_{k} i$ より $z_{k}^{2} = (x_{k} + y_{k} i)^{2} = x_{k}^{2} - y_{k}^{2} + 2 x_{k} y_{k} i$ である。これを $k = 1, 2, 3$ について足すと

z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = k = 1 \sum 3 (x_{k}^{2} - y_{k}^{2}) + 2 i k = 1 \sum 3 x_{k} y_{k}

となる。ここで

k = 1 \sum 3 x_{k}^{2} = r^{2}, k = 1 \sum 3 y_{k}^{2} = s^{2}, k = 1 \sum 3 x_{k} y_{k} = r s cos θ

である。したがって $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + z_{3}^{2} = r^{2} - s^{2} + 2 r s cos θ i$ である。

(2)

$w_{k} = (3 + i) (x_{k} + y_{k} i) = (3 x_{k} - y_{k}) + (x_{k} + 3 y_{k}) i$ であるから $u_{k} = 3 x_{k} - y_{k}, v_{k} = x_{k} + 3 y_{k}$ である。よってベクトルで書けば

u = 3 x - y, v = x + 3 y

となる。

仮定より $∣ x ∣ = ∣ y ∣$ かつ $x \cdot y = 0$ である。共通の長さを $r$ とすると

∣ u ∣^{2} = 3∣ x ∣^{2} - 23 x \cdot y + ∣ y ∣^{2} = 4 r^{2}

であり、同様に

∣ v ∣^{2} = ∣ x ∣^{2} + 23 x \cdot y + 3∣ y ∣^{2} = 4 r^{2}

である。したがって $∣ u ∣ = ∣ v ∣$ である。

また

u \cdot v = (3 x - y) \cdot (x + 3 y)

= 3 ∣ x ∣^{2} + 2 x \cdot y - 3 ∣ y ∣^{2} = 0

である。よって $u$ と $v$ はたがいに垂直である。

(3)

$x$ と $u$ のなす角を $ϕ$ とする。(2)より $∣ u ∣ = 2 r$ であり、

x \cdot u = x \cdot (3 x - y) = 3 r^{2}

である。したがって

cos ϕ = \frac{x \cdot u}{∣ x ∣ ∣ u ∣} = \frac{3 r ^{2}}{r \cdot 2 r} = \frac{3}{2}

である。 $0^{\circ} ≦ ϕ ≦ 18 0^{\circ}$ より $ϕ = 3 0^{\circ}$ である。

別解。(2)の仮定のもとでは、 $x$ と $y$ は同じ長さで直交している。したがって、この2本が張る平面内で

u = 3 x - y, v = x + 3 y

を見ると、係数の組 $(3, - 1)$ と $(1, 3)$ はどちらも長さ2で、内積 $3 - 3 = 0$ をもつ。つまり $u$ 、 $v$ は同じ長さで直交する。また $u$ は $x$ 方向成分 $3$ 、 $- y$ 方向成分1をもつので、 $x$ との角は $3 0^{\circ}$ である。

大阪大学 2001年度文系数学 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 2001年度
文系数学第2問