大阪大学 2000年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

$a > 0$ とする．直線 $l$ が曲線

C_{1} : y = lo g x と C_{2} : y = lo g (x - a) + a

のどちらにも接している．

(1) $l$ の方程式を求めよ．

(2) $l$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ により囲まれる部分の面積 $S (a)$ を求めよ．

(3) 極限値 $a \to \infty lim \frac{S ( a )}{a ^{2}}$ を求めよ．ただし $x \to \infty lim \frac{lo g x}{x} = 0$ は用いてよい．

出典：大阪大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

二曲線への接点を別々の文字で置き、共通接線の傾きと切片を比較して接点を決める。二曲線の交点で積分区間を分け、式を接点間の関係で整理する。

$C_{1}$ の $x = u$ における接線は

y = \frac{x}{u} + lo g u - 1.

一方、 $C_{2}$ で $x - a = v$ となる点における接線は

y = \frac{x}{v} + lo g v + a - \frac{a}{v} - 1.

これらが同じ直線なので、傾きの比較から $u = v$ 、切片の比較から

a - \frac{a}{u} = 0

を得る。 $a > 0$ より $u = v = 1$ である。従って共通接線は

l : y = x - 1.

二曲線の交点の $x$ 座標を $b$ とすると

lo g b = lo g (b - a) + a,

従って

b = \frac{a e ^{a}}{e ^{a} - 1}, b - a = \frac{a}{e ^{a} - 1} .

対数関数は接線より下にあるので、囲まれる面積は

S (a) = \int_{1}^{b} (x - 1 - lo g x) d x + \int_{b}^{a + 1} {x - 1 - lo g (x - a) - a} d x .

ここで

t = b - a = \frac{a}{e ^{a} - 1}, b = e^{a} t

とおいて積分を整理すると

S (a) = \frac{a ^{2}}{2} + a t - b lo g b + t lo g t = - \frac{a ^{2}}{2} - a lo g t = a lo g \frac{e ^{a} - 1}{a} - \frac{a ^{2}}{2} .

従って

S (a) = a lo g \frac{e ^{a} - 1}{a} - \frac{a ^{2}}{2} .

\frac{S ( a )}{a ^{2}} = \frac{lo g ( e ^{a} - 1 )}{a} - \frac{lo g a}{a} - \frac{1}{2} .

また

\frac{lo g ( e ^{a} - 1 )}{a} = 1 + \frac{lo g ( 1 - e ^{- a} )}{a} ⟶ 1,

問題文で使用を許された極限より $(lo g a) / a \to 0$ である。従って

a \to \infty lim \frac{S ( a )}{a ^{2}} = 1 - 0 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .