大阪大学 2000年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ を

a_{1} = - 2, b_{1} = 3, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 b_{n}, b_{n + 1} = 4 a_{n} + 3 b_{n} (n = 1, 2, 3, \dots\dots)

で定める．

(1) すべての番号 $n$ について $b_{n}^{2} - 2 a_{n}^{2} = 1$ であることを示せ．

(2) $c_{n} = 2 a_{n} + b_{n}$ とするとき $c_{n}$ を $n$ を用いて表せ．

(3) $b_{n}$ が最小となる番号 $n$ を求めよ．

(4) (3)で求めた $n$ の値を $m$ とするとき， $n ≧ m$ ならば $b_{n + 1} ≧ b_{n}$ となることを示せ．

出典：大阪大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

(1) 二次形式が漸化式で不変であることを直接計算する。(2) $2 a_{n} + b_{n}$ が等比数列になることを見抜く。(3)(4) 不変式から $b_{n} = (c_{n} + c_{n}^{- 1}) /2$ と表し、 $c_{n}$ の大小で単調性を判定する。

漸化式を代入すると

b_{n + 1}^{2} - 2 a_{n + 1}^{2} = (4 a_{n} + 3 b_{n})^{2} - 2 (3 a_{n} + 2 b_{n})^{2} = b_{n}^{2} - 2 a_{n}^{2} .

初項では

b_{1}^{2} - 2 a_{1}^{2} = 9 - 8 = 1

なので、数学的帰納法により

b_{n}^{2} - 2 a_{n}^{2} = 1

がすべての $n$ で成り立つ。

c_{n} = 2 a_{n} + b_{n}

とおくと

c_{n + 1} = 2 (3 a_{n} + 2 b_{n}) + (4 a_{n} + 3 b_{n}) = (3 + 22) c_{n} .

また

c_{1} = 3 - 22 = (3 + 22)^{- 1}

である。従って

c_{n} = (3 + 22)^{n - 2} .

(1)より

(2 a_{n} + b_{n}) (b_{n} - 2 a_{n}) = 1.

すなわち

b_{n} - 2 a_{n} = c_{n}^{- 1}

なので

b_{n} = \frac{1}{2} (c_{n} + c_{n}^{- 1}) .

$3 + 22 > 1$ であり、 $c_{n} = 1$ となるのは $n = 2$ である。正数 $t$ に対して

t + \frac{1}{t} ≧ 2

で、等号は $t = 1$ のときだけだから、 $b_{n}$ が最小となる番号は

n = 2

である。

$m = 2$ である。 $n ≧ 2$ では $c_{n} ≧ 1$ かつ $c_{n + 1} > c_{n}$ である。関数

h (t) = \frac{1}{2} (t + \frac{1}{t})

は $t ≧ 1$ で増加するから

b_{n + 1} = h (c_{n + 1}) ≧ h (c_{n}) = b_{n} .

従って $n ≧ m$ なら $b_{n + 1} ≧ b_{n}$ である。