大阪大学 2000年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

原点 $O$ を中心とし， $a > 1$ を半径とする円 $C : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 上に相異なる4点 $P$ ， $Q$ ， $P^{'}$ ， $Q^{'}$ がある． $Q (a cos φ, a sin φ)$ は曲線

D : x^{2} - y^{2} = 1 (x ≧ 0, y ≧ 0)

上にあり， $Q$ と $Q^{'}$ は $O$ に関して対称である．また $P$ と $P^{'}$ は $x > 0$ の部分にあって条件

\overline{QP} \cdot \overline{Q^{'} P} = \overline{Q P^{'}} \cdot \overline{Q^{'} P^{'}} = a^{2}

をみたしている．

(1) $∠ P O Q$ を求めよ．

(2) $R (a, 0)$ に対して極限値 $a \to \infty lim \frac{P R ^{2} + P ^{'} R ^{2}}{O R ^{2}}$ を求めよ．

出典：大阪大学 2000年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

円周上の点を偏角で表す。弦長の積を積和公式で $∣ sin (θ - φ) ∣$ に変え、 $x > 0$ の条件から二点の偏角を確定する。最後に点 $R$ までの弦長平方の和を余弦で整理する。

点 $P$ の偏角を $θ$ とする。点 $Q$ は第1象限にあり

a^{2} (cos^{2} φ - sin^{2} φ) = 1

だから

cos 2 φ = \frac{1}{a ^{2}}, 0 < φ < \frac{π}{4} .

円の弦長公式より

\overline{QP} = 2 a sin \frac{θ - φ}{2},

また $Q^{'}$ の偏角は $φ + π$ なので

\overline{Q^{'} P} = 2 a cos \frac{θ - φ}{2} .

従って

\overline{QP} \overline{Q^{'} P} = 2 a^{2} ∣ sin (θ - φ) ∣.

これが $a^{2}$ に等しいから

∣ sin (θ - φ) ∣ = \frac{1}{2} .

さらに $P, P^{'}$ はともに $x > 0$ にあり、 $0 < φ < π /4$ である。従って条件を満たす二点の偏角は

θ = φ + \frac{π}{6}, θ = φ - \frac{π}{6}

である。よって、どちらの点についても

∠ P O Q = \frac{π}{6} .

$P, P^{'}$ の偏角をそれぞれ $φ + π /6, φ - π /6$ とする。 $R = (a, 0)$ だから

\overline{P R}^{2} = 2 a^{2} (1 - cos θ)

である。従って

\frac{P R ^{2} + P ^{'} R ^{2}}{O R ^{2}} = 4 - 2 {cos (φ + \frac{π}{6}) + cos (φ - \frac{π}{6})} = 4 - 23 cos φ .

$a \to \infty$ のとき $cos 2 φ = 1/ a^{2} \to 0$ かつ $0 < φ < π /4$ より

φ \to \frac{π}{4} .

従って求める極限は

4 - 23 \cdot \frac{2}{2} = 4 - 6 .