大阪大学 2000年度
文系数学 第2問

解答

$p+qi$ が方程式 $x^3+px+10=0$ の解であるから $(p+qi{)}^3+p(p+qi)+10=0$ である。

まず $(p+qi{)}^3=p^3+3p^{2}qi+3p(qi{)}^2+(qi{)}^3=p^3-3p{q}^2+(3p^{2}q-q^3)i$ である。また $p(p+qi)=p^2+pqi$ だから、実部と虚部を比較して $p^3-3p{q}^2+p^2+10=0$ および $3p^{2}q-q^3+pq=0$ を得る。

虚部の式は $q(3p^2-q^2+p)=0$ である。条件より $q\ne 0$ なので $q^2=3p^2+p$ である。これを実部の式へ代入すると $p^3-3p(3p^2+p)+p^2+10=0$ となる。整理して $-8p^3-2p^2+10=0$ すなわち $4p^3+p^2-5=0$ である。左辺は $4p^3+p^2-5=(p-1)(4p^2+5p+5)$ と因数分解できる。2次式の判別式は $5^2-4\cdot 4\cdot 5=-55<0$ であるから、実数解は $p=1$ だけである。したがって $q^2=3\cdot 1^2+1=4$ より $q=2,q=-2$ である。よって求める値は $(p,q)=(1,2),(1,-2)$ である。

別解。方程式の係数は実数なので、$p+qi$ が解なら $p-qi$ も解である。残りの実数解を $r$ とすると、解と係数の関係より $(p+qi)+(p-qi)+r=0$ であるから $r=-2p$ である。また、2つずつの積の和は $x$ の係数 $p$ に等しいので $(p+qi)(p-qi)+r(p+qi)+r(p-qi)=p$ である。すなわち $p^2+q^2+2pr=p$ であり、$r=-2p$ を代入して $q^2=3p^2+p$ を得る。さらに3解の積は $-10$ だから $(p^2+q^2)r=-10$ である。$r=-2p$ を代入すると $p(p^2+q^2)=5$ であり、$q^2=3p^2+p$ から $p(4p^2+p)=5$ すなわち $4p^3+p^2-5=0$ となる。以後は上と同じく $p=1$、$q=\pm 2$ を得る。