問題
点を中心とする円を考える．この円の円周上に3点，，があってをみたしている．このとき，三角形は正三角形であることを証明せよ．
出典：大阪大学 2000年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第1問
方針
半径ベクトル 、、 はすべて同じ長さで、和が0である。 の両辺を2乗すると が決まり、同じ操作を巡回的に行えば3組の内積がすべて になる。これは中心角がすべて であることを意味するので、対応する弦 がすべて等しい。別解として、重心が円の中心と一致することを利用して三角形の重心・外心の一致から正三角形を導くこともできる。
解答
円の半径を とし、
とおく。3点 は円周上にあるから である。また条件より である。
まず の両辺の大きさの2乗を比べると である。左辺を展開して だから となる。したがって である。同様に、 から
も得られる。
よって であるから である。同じ理由で である。
同じ円で中心角が等しい弦の長さは等しいので である。したがって三角形 は正三角形である。
別解。条件 は、3点 の重心が点 であることを表している。一方、点 は3点 を通る円の中心でもあるから、三角形 の外心でもある。つまり、この三角形では重心と外心が一致している。
重心を原点として見ると、上の条件から であり、すでに示した計算と同じく が従う。3つの中心角がすべて であるから、やはり3辺は等しく、三角形 は正三角形である。