大阪大学 1999年度後期・理系数学後期第3問解答・解説

問題

次の問いに答えよ．

(1) $p$ ， $q$ ， $a$ ， $b$ は定数で $p > 0$ ， $q > 0$ とする． $x$ と $y$ が $x ≧ y$ を満たしながら動くとき，

- p x^{2} - q y^{2} + a x + b y

の最大値，およびそのときの $x$ ， $y$ を求めよ．

(2) $a$ ， $b$ ， $c$ を定数とする． $x$ ， $y$ および $z$ が $x ≧ y ≧ z$ を満たしながら動くとき，

- x^{2} - y^{2} - z^{2} + a x + b y + cz

の最大値を求めよ．

出典：大阪大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第3問

(1) 制約なしの頂点が $x ≧ y$ に入るかを判定し、入らなければ境界 $x = y$ で最大化する。(2) 同じ操作を3変数の順序制約に対して隣接する違反区間をまとめる形で行う。

制約がなければ

x = \frac{a}{2 p}, y = \frac{b}{2 q}

で最大となる。これが $x ≧ y$ を満たす条件は

a q ≧ b p .

このとき最大値と最大点は

\frac{a ^{2}}{4 p} + \frac{b ^{2}}{4 q}, (x, y) = (\frac{a}{2 p}, \frac{b}{2 q}) .

一方 $a q < b p$ のとき、最大点は境界 $x = y = t$ 上にある。そこで

- (p + q) t^{2} + (a + b) t

を最大化すると

t = \frac{a + b}{2 ( p + q )}

であり、最大値は

\frac{( a + b ) ^{2}}{4 ( p + q )} .

従ってこの場合の最大点は

(x, y) = (\frac{a + b}{2 ( p + q )}, \frac{a + b}{2 ( p + q )}) .

平方完成すると

- x^{2} - y^{2} - z^{2} + a x + b y + cz = \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4} - (x - \frac{a}{2})^{2} - (y - \frac{b}{2})^{2} - (z - \frac{c}{2})^{2} .

従って $(a /2, b /2, c /2)$ に最も近い $x ≧ y ≧ z$ の点を求めればよい。結果は次の4場合である。

条件 a ≧ b ≧ c a < b, a + b ≧ 2 c b < c, 2 a ≧ b + c 上記以外 最大値 \frac{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}{4} \frac{( a + b ) ^{2}}{8} + \frac{c ^{2}}{4} \frac{a ^{2}}{4} + \frac{( b + c ) ^{2}}{8} \frac{( a + b + c ) ^{2}}{12}

実際、第2の場合は $x = y = (a + b) /4, z = c /2$ 、第3の場合は $x = a /2, y = z = (b + c) /4$ 、最後の場合は

x = y = z = \frac{a + b + c}{6}

で最大となる。各条件は、このように平均してまとめた値が隣の値との順序を保つ条件に一致する。境界では隣接する二つの式は同じ値を与える。