大阪大学 1999年度後期・理系数学後期第2問解答・解説

問題

$n$ は2以上の自然数， $c$ および $q$ は正の実数とする． $x y$ 平面上に，原点 $O$ ，点 $P (1, 0)$ ，および点 $Q (0, q)$ を頂点にもつ三角形をとる．この三角形は，曲線 $y = c x^{n}$ により2つの領域に分割されるが，これらのうち，点 $P$ を含む領域を $A$ ，点 $Q$ を含む領域を $B$ とする．係数 $c$ は $A$ の面積と $B$ の面積が等しくなるように定められているとする．次の問いに答えよ．

(1) 領域 $A$ を $x$ 軸のまわりに1回転してえられる回転体の体積を $V (A)$ とし，領域 $B$ を $y$ 軸のまわりに1回転してえられる回転体の体積を $V (B)$ とする．このとき，各 $n$ に対して $V (A) = V (B)$ が成り立つように $q$ をただ1通りに定めることができることを示せ．

(2) 各 $n$ に対して(1)で定まる $q$ の値を $q_{n}$ で表すとき，極限値 $n \to \infty lim q_{n}$ を求めよ．

出典：大阪大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第2問

方針

曲線と斜辺の交点の $x$ 座標を $r$ とする。面積二等分条件から $r$ を $n$ だけで決め、二つの回転体の体積を $q$ の二次式と一次式として表す。

解答

曲線 $y = c x^{n}$ と斜辺 $y = q (1 - x)$ の交点の $x$ 座標を $r$ とする。すると

0 < r < 1, c r^{n} = q (1 - r) .

点 $Q$ を含む領域 $B$ の面積は

∣ B ∣ = \int_{0}^{r} {q (1 - x) - c x^{n}} d x = q {r - \frac{r ^{2}}{2} - \frac{r ( 1 - r )}{n + 1}} .

三角形全体の面積は $q /2$ なので、二等分条件は

r - \frac{r ^{2}}{2} - \frac{r ( 1 - r )}{n + 1} = \frac{1}{4} . (1)

左辺は $0 ≦ r ≦ 1$ で狭義増加し、端点値は0と $1/2$ だから、(1)を満たす $r = r_{n}$ はただ一つ存在する。

(1)

$A$ を $x$ 軸のまわりに回転すると

V (A) = π \int_{0}^{r} c^{2} x^{2 n} d x + π \int_{r}^{1} q^{2} (1 - x)^{2} d x = π q^{2} (1 - r)^{2} {\frac{r}{2 n + 1} + \frac{1 - r}{3}} .

また円筒殻法により

V (B) = 2 π \int_{0}^{r} x {q (1 - x) - c x^{n}} d x = 2 π q {\frac{r ^{2}}{2} - \frac{r ^{3}}{3} - \frac{( 1 - r ) r ^{2}}{n + 2}} .

括弧内はいずれも正である。従って $V (A) = V (B)$ を満たす正数 $q$ は

q = \frac{2 { r ^{2} /2 - r ^{3} /3 - ( 1 - r ) r ^{2} / ( n + 2 ) }}{( 1 - r ) ^{2} { r / ( 2 n + 1 ) + ( 1 - r ) /3 }}

のただ一つである。

(2)

(1)で定まる $r_{n}$ は、(1)と単調性から

r_{n} ⟶ r

となり、極限 $r$ は

r - \frac{r ^{2}}{2} = \frac{1}{4}

を満たす。 $0 < r < 1$ より

r = 1 - \frac{1}{2} .

上の $q$ の式で極限をとると

n \to \infty lim q_{n} = \frac{2 ( r ^{2} /2 - r ^{3} /3 )}{( 1 - r ) ^{3} /3} = \frac{r ^{2} ( 3 - 2 r )}{( 1 - r ) ^{3}} = 2 - 2 .

大阪大学 1999年度後期・理系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

大阪大学 1999年度
後期・理系数学後期第2問