大阪大学 1999年度後期・理系数学後期第1問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して， $x$ を越えない最大の整数を $[x]$ で表す． $a_{m} = [m]$ $(m = 1, 2, 3, \dots\dots)$ に対して，数列 $b_{1}, b_{2}, b_{3}, \dots\dots$ を $b_{1} = 0$ ， $k ≧ 2$ のとき $a_{m} < k ≦ a_{m + 1}$ となる $m$ に対して $b_{k} = m$ と定める．
次の問いに答えよ．

(1) 数列 ${b_{k}}$ の一般項を求めよ．

(2) すべての自然数 $n$ に対して $m = 1 \sum n^{2} a_{m} + k = 1 \sum n b_{k} = n^{3}$ が成り立つことを示せ．

(3) $m = 1 \sum n^{2} [m]$ を求めよ．

出典：大阪大学 1999年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第1問

方針

定義の不等式を平方して $b_{k}$ を決める。(2) は $[m]$ を格子点の個数と見て二重計数し、(3) は得られた恒等式と平方和を用いる。

解答

(1)

$k ≧ 2$ に対し

a_{m} < k ≦ a_{m + 1}

は

⌊ m ⌋ < k ≦ ⌊ m + 1 ⌋

である。これは

m < k^{2} ≦ m + 1

と同値だから

m = k^{2} - 1.

$b_{1} = 0 = 1^{2} - 1$ も含めて

b_{k} = k^{2} - 1

である。

(2)

$⌊ m ⌋$ は

1 ≦ k, k^{2} ≦ m

を満たす整数 $k$ の個数である。従って

m = 1 \sum n^{2} a_{m}

は整数対 $(k, m)$ で

1 ≦ k ≦ n, k^{2} ≦ m ≦ n^{2}

を満たすものの個数である。 $k$ を固定するとその個数は

n^{2} - k^{2} + 1.

一方 $b_{k} = k^{2} - 1$ だから

(n^{2} - k^{2} + 1) + b_{k} = n^{2} .

これを $k = 1, \dots, n$ で足すと

m = 1 \sum n^{2} a_{m} + k = 1 \sum n b_{k} = n^{3} .

(3)

(2)と(1)より

m = 1 \sum n^{2} ⌊ m ⌋ = n^{3} - k = 1 \sum n (k^{2} - 1) = n^{3} - \frac{n ( n + 1 ) ( 2 n + 1 )}{6} + n = \frac{n ( 4 n ^{2} - 3 n + 5 )}{6} .

大阪大学 1999年度後期・理系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

大阪大学 1999年度
後期・理系数学後期第1問