問題
正の整数の組で，以上以下の整数の総和が500となるものをすべて求めよ．ただし，とする．
出典：大阪大学 1999年度 前期日程 第2次学力試験 文系 第3問
方針
連続する整数の個数を とおく。 なので である。和の公式から を得るので、 は1000の正の約数でなければならない。さらに が正の整数になるには が正の偶数である必要がある。この条件を1000の約数について調べ、得られた から を戻す。
解答
連続する整数の個数を とおく。条件 より である。また であり、項数は 、初項は 、末項は だから である。すなわち である。よって は1000の正の約数であり、さらに が正の偶数でなければならない。 なので、 で となる候補は である。ここで を調べる。 のとき なので , である。 のとき なので , である。 のとき なので , である。
その他の約数については、 が奇数になるか、または正でなくなる。例えば では右辺が奇数であり、 では右辺は正でない。したがって条件を満たすものは上の3通りだけである。
よって求める組は である。