問題
次の問いに答えよ．
(1) 平面上で，次の不等式を満たす点の存在する領域を図示せよ．
(2) 点が(1)の領域を動くとき，
がとる値の範囲を求めよ．
方針
対数・指数の定義域からまず , を確認し、与えられた不等式を に整理する。領域は かつ なので、放物線と 軸に挟まれた部分である。(2)では とおき、領域内での の取り得る範囲を求める。上端は の最大値で決まり、下端 は定義域のため実現しない。最後に三角関数を合成して、角度の動く区間上で最大・最小を調べる。
解答
(1)
対数が定義されるためには が必要である。このもとで各項を整理する。 であり、また
である。さらに である。したがって与えられた不等式は すなわち と同値である。
ただし でなければならないので、右辺も正である必要がある。すなわち であり、 と合わせて である。よって求める領域は である。これは、 軸より上で、放物線 以下の部分である。ただし 軸上の点は含まない。
(2)
とおく。(1)の領域で固定した に対し、 は を動くから、 は を満たす。ここで なので、その最大値は のとき である。したがって である。
逆に、任意の は領域内の点で実現できる。実際、 は で0から まで連続的に増加するので、 となる を十分小さく、かつ となるように選べる。そのとき とすれば領域内に入る。よって の範囲は である。
このとき である。三角関数を合成すると である。 より である。この区間で の最大値は で1となり、これは で実現する。したがって の最大値は2である。
一方、左端の は含まれないので、 は実現しない。ただし を0に近づけると は に近づく。したがって求める範囲は である。