大阪大学 1999年度
文系数学 第2問

解答

(1)

点 $P$ の $x$ 座標を $p$ とおく。$P$ は原点以外の点なので $p\ne 0,P\left(p,\frac{p^2}{2}\right)$ である。放物線 $y=x^2/2$ の導関数は $y^{\prime }=x$ だから、$P$ における接線 $l_1$ は $y-\frac{p^2}{2}=p(x-p)$ すなわち $y=px-\frac{p^2}{2}$ である。これに直交する直線 $l_2$ の傾きは $-1/p$ なので $y-\frac{p^2}{2}=-\frac{1}{p}(x-p)$ である。 $l_2$ と放物線が再び交わる点を $Q\left(q,\frac{q^2}{2}\right)$ とおく。$Q$ は $l_2$ 上にあるから $\frac{q^2}{2}-\frac{p^2}{2}=-\frac{1}{p}(q-p)$ である。左辺を因数分解して $\frac{(q-p)(q+p)}{2}=-\frac{q-p}{p}$ となる。$Q$ は $P$ とは異なるので $q-p\ne 0$ であり、両辺を $q-p$ で割って $\frac{q+p}{2}=-\frac{1}{p}$ を得る。したがって $q=-p-\frac{2}{p}$ である。

点 $Q$ における接線 $l_3$ は $y=qx-\frac{q^2}{2}$ である。$l_1$ と $l_3$ の交点を $R(x,y)$ とすると $px-\frac{p^2}{2}=qx-\frac{q^2}{2}$ であるから、$p\ne q$ より $x=\frac{p+q}{2}=-\frac{1}{p}$ である。これを $l_1$ の式に代入して $y=p\left(-\frac{1}{p}\right)-\frac{p^2}{2}=-1-\frac{p^2}{2}$ である。$x=-1/p$ より $p=-1/x$ だから、求める関係は $y=-1-\frac{1}{2x^2}(x\ne 0)$ である。

(2)

距離を二乗して比較する。まず

であるから $P{R}^2={\left(p+\frac{1}{p}\right)}^2+(p^2+1{)}^2$ である。整理すると $P{R}^2=\frac{(p^2+1{)}^2}{p^2}+(p^2+1{)}^2=\frac{(p^2+1{)}^3}{p^2}$ である。

次に $q-p=-2p-\frac{2}{p}=-\frac{2(p^2+1)}{p}$ であり、法線の傾きが $-1/p$ であることから $\frac{q^2-p^2}{2}=-\frac{1}{p}(q-p)=\frac{2(p^2+1)}{p^2}$ である。よって

$=\frac{4(p^2+1{)}^3}{p^4}$ である。

したがって $PR\geqq PQ$ は $\frac{(p^2+1{)}^3}{p^2}\geqq \frac{4(p^2+1{)}^3}{p^4}$ と同値である。$p\ne 0$ かつ $(p^2+1{)}^3>0$ なので、両辺に $p^4/(p^2+1{)}^3$ をかけて $p^2\geqq 4$ を得る。よって点 $P$ の $x$ 座標の範囲は $p\leqq -2,2\leqq p$ である。